Un point n'ayant pas de longueur, un segment n'est pas "'une succession ... de points". Rajouter le mot continu au milieu n'a pas de sens : après un point, il n'y a pas de point suivant !! Il n'y a pas succession.
Ne jamais parler de notions mathématiques sans les avoir sérieusement étudiées.
Cordialement.
Admettons que tu aies raison, et qu'il ne soit pas possible d'obtenir un objet de dimension 1 à partir de points. Pour autant, un segment n'est-il pas constitué de points, et uniquement de points ?...Envoyé par Dynamix
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Merci pour tes éclaircissements ! J'ai toujours cru qu'un segment/une droite était constitué de points. Pour éviter toute confusion, pourrais-tu STP préciser quelle est la relation entre un point et une droite ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Salut,
Tu as de belles réponses Andretou.
Edit : croisement.
Andretou,
tu devrais lire plus précisément ce qu'on t'écrit? Je n'ai jamais nié qu'un segment soit "constitué de points". Très exactement, un segment est un ensemble de points. Relis mon message, il parle d'autre chose.
Ton exemple est judicieux.
Mais cette image a ses limites : car dans le cas de l'élastique, chaque "point" est dilaté (permettant l'étirement), alors que d'un segment à l'autre, les points restent invariablement ce qu'ils sont...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Il n'y a pas de points sur un élastique. Quand on l'étire, les chaînes plastiques se déplacent les unes par rapport aux autres, le volume est à peu près conservé.
Bonsoir gg0,
Si on prend pour exemple un cas réel, par exemple l'élastique, on ne peut plus parler d'ensemble de points pour constituer un segment.
Soit un élastique entre 2 points, il y a une constante : le volume de l'élastique, c'est à dire le produit de sa longueur par sa section, et cela quelque soit l'étirement, c'est à dire la distance entre les extrémités : la longueur de l'élastique à un instant donné.
Ceci pour dire que la définition "un segment est un ensemble de points" n'est valable que dans un monde théorique et n'est plus valable dans le monde réel. Ce type de définition ne me gène pas trop, sauf à partir du moment où on dit qu'elle s'applique au monde réel, en particulier à la géométrie.
C'est une définition abstraite, certainement très intéressant pour l'abstraction, peut-être utile pour certaines abstractions, mais tant qu'on n'aura pas donné une définition du point, ces notions restent, pour moi, sans grand intérêt.
Bonjour,
@andretou, voici une réponse (qui n'est pas excessivement rigoureuse) :
Lorsque que vous vous retrouvez confronté à des problèmes mathématique dont la formulation vous amène à des cas dits d'indétermination tels que le produit de zéro par l'infini, vous sortez du cadre de l'arithmétique usuelle pour laquelle par exemple la somme de deux quantités strictement positives sera toujours strictement plus grande que chacunes des deux quantités de départ.
À titre d'exemple, vouloir comparer la longueur (hors considérations topologiques, d'ailleurs le même problème se pose avec des masses) de deux segments constitués du "même infini" de points revient à vouloir calculerselon l'équation suivante :
Si on pose que la quantité
soit :
pour laquelle il apparaît clairement qu'il n'existe pas de solution unique. En fait, une infinité de solution pour lesquelles
mouais effectivement cette analogie est vaseuse. Je pense que tu n'arriveras pas à résoudre ton problème. Il te faut admettre que la longueur est une propriété du segment, pas de ses points. Les ensembles ont des propriétés qui ne découlent pas de celles de leurs éléments.
C'est fou, l'intégralité des livres de mathématiques enseigneraient donc quelque chose de parfaitement inutile ? zut alors...Ceci pour dire que la définition "un segment est un ensemble de points" n'est valable que dans un monde théorique et n'est plus valable dans le monde réel. Ce type de définition ne me gène pas trop, sauf à partir du moment où on dit qu'elle s'applique au monde réel, en particulier à la géométrie.
C'est une définition abstraite, certainement très intéressant pour l'abstraction, peut-être utile pour certaines abstractions, mais tant qu'on n'aura pas donné une définition du point, ces notions restent, pour moi, sans grand intérêt.
En maths, depuis au moins un bon siècle, on définit des ensembles et des éléments de ces ensembles.
Quand on veut parler de géométrie par exemple les éléments de l'ensemble (R² ou R³ par exemple) sont des points. Un segment est un ensemble de points...
C'est à partir de ce genre de définition qu'on fini par construire des outils comme l'intégrale qui permettent de calculer n'importe quelle surface ou volume,
ou encore les transformations (affines ou non) de l'espace...
@andretou : il peut être intéressant de réfléchir un peu différemment sur ta notion d'égalité.
Soit deux segment [a,b] et [c,d].
1) On peut dire qu'ils sont égaux ssi leurs extrêmités sont égales.
2) Tu as voulut dire segment [a,b] = segment [b,c] s'ils ont la même longeur.
Dans ce cas cela veut dire que tu t'autorise toutes les transformations isométrique (qui conservent les longeurs: translation, symétrie, rotation...) pour modifier un segment.
3) Si tu t'autorises toutes les bijections tu es beaucoup plus généreux puis que tu t'autorise à étirer le segment (et même faire des trucs beaucoup plus tordus qui te permettent de passer d'un segment à un disque, ou même à l'espace tout entier)
Quelle est la "bonne" égalité ? Et ben ça dépends de ce que tu cherches... Elles correspondent à des notions différentes.
Merci à tous pour vos commentaires, je pense avoir maintenant les idées un peu plus claires.
Cependant, si je prends un segment et que je le divise par 2, alors le demi-segment obtenu contiendra toujours autant de points. En répétant indéfiniment l'opération, la longueur du segment tendra vers 0. Mais, quelle que soit sa longueur (même infiniment petite), le segment comptera toujours autant de points (une infinité !)...
De fait, il est impossible de réduire un segment par divisions successives jusqu'à obtenir un point !
La longueur d'un segment ne dépend donc pas de la quantité de points (qui est invariante quelle que soit la longueur du segment).
Mais du coup, puisqu'il est impossible d'obtenir un point à partir d'un segment, qu'est-ce qui permet d'affirmer qu'un segment est composé de points ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Même si tu obtiens un segment de taille infinitésimale, ce sera toujours un segment, contenant un nombre infini de points.
De la même manière, si tu considères l'ensemble [0-1] sur |R, et que tu le divises par deux, tu n'obtiendras jamais un nombre réel mais toujours un ensemble. Et pourtant il est constitué d'une infinité de nombres réels:
[0-1]; [0-1/2]; [0-1/4]; etc...
Andretou :Deux problèmes dans ce que tu dis :Mais du coup, puisqu'il est impossible d'obtenir un point à partir d'un segment, qu'est-ce qui permet d'affirmer qu'un segment est composé de points ?
1 - On obtient bien des points à partir d'un segment, ses deux extrémités, son milieu, et dans ton découpage, tu en as créé pas mal ! A noter : le milieu appartient aux deux demi segments qu'on coupe !
2 - Un segment n'est pas composé de points, pas dans le sens courant du mot "composé". Un segment est un ensemble de points.
Et toujours le fait de vouloir parler d'objets mathématiques avec un vocabulaire non mathématique, ce qui complique fortement ces choses simples. Je crains que ça ne corresponde à une idée complétement fausse de ce que sont les points, les droites, les plans, etc. Ou bien à un retour à l'envie de traiter l'infini avec les règles des situations courantes, finies.
Cordialement
Dernière modification par gg0 ; 30/11/2016 à 20h57.
je penche plutôt pour une interprétation erronée purement " physique" de concepts " mathématiques"
Hilbert aurait inauguré ses cours de géométrie par :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir Médiat,
J'aime bien cette citation. Cela signifie, pour moi, que les termes (point, droite, infini) n'ont pas le même sens en mathématique que partout ailleurs. Cela ne me choque pas. Mais, encore faut-il définir le sens des termes. Par exemple un point en géométrie est une localisation, laquelle dépend du système de référence. Donc, en soi, un point n'a pas d'existence. Il est défini, c'est à dire qu'on peut l'identifier, le déplacer, mais pas le supprimer si et seulement si il est utilisé dans la définition d'un objet. En d'autres termes un point n'a d'existence que par l'utilisation qu'on en fait.
C'est là que l'expression "ensemble de points" mérite à mon avis une explication.
Si les points dont il s'agit servent à définir un objet, par exemple les sommets de lignes brisées, alors l'expression "ensemble de points" a un sens très précis. Si on applique à tous ces points une transformation, on modifie l'objet, quant aux points, ils auront une définition (coordonnées) différente, mais il ne seront pas plus qu'une localisation, comme avant la transformation.
Je veux bien imaginer que ces notions, non intuitives, soient intéressante dans certains contextes. J'ai posé la question, mais je n'ai pas eu de réponse.
Merci Ansset, ta phrase est plus claire que mon "une idée complétement fausse de ce que sont les points, les droites, les plans, etc.".
Cordialement.
Je conteste ! Si on définit un point comme étant un segment infiniment petit, alors il est impossible d'isoler et de localiser un point (pour la raison qu'un segment infiniment petit contient une infinité de points) ; on peut en revanche définir arbitrairement des abscisses, et par simplification associer un point imaginaire à chaque abscisse.
As-tu éventuellement une meilleure définition du point qu'un segment infiniment petit ?
Je suis provisoirement d'accord avec ta définition du segment. En effet, cette définition ne fait pas la différence entre un segment et une droite ou une courbe, ni entre un segment et une surface ou un volume...
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,
La meilleure définition mathématique du point que je connaisse est : "Un point est un élément d'un modèle vérifiant les conditions axiomatiques d'une théorie dont les éléments (en tenant compte, si nécessaire, d'un typage ou d'un prédicat) ) sont appelés points".
De la même façon que les "éléments d'un groupe"(*) sont les éléments d'un modèle de la théorie des groupes.
(*) Qui n'ont pas reçus de nom particulier, contrairement aux points.
Dernière modification par Médiat ; 01/12/2016 à 07h30.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Andretou,
"Si on définit un point comme étant un segment infiniment petit" on ne sait pas trop de quoi on parle (de quoi tu parles, comme souvent) et on ne fait pas de la géométrie. De plus, comme la notion de segment n'est pas définie, définir le segment [AB] défini par les points A et B nécessite de définir ce qu'est un segment (puis un segment infiniment petit), ce qui nécessite de définir les points ce qui nécessite de définir les segments .... "on tourne en rond m... "
En géométrie, les points, les droites et les plans ne sont pas définis par des mots, seulement par les relations qu'ils entretiennent entre eux (axiomes). Un point n'est pas une espèce de segment, et même le segment [AA] n'est pas la même chose que le point A (c'est l'ensemble {A}).
Désolé, mon vieux, mais tu cherches plus à contredire les maths qu'à comprendre. Comme la cohérence des maths est assez forte, tu n'y arrives pas, alors tu baratines, tu racontes des fausses maths, tu perds ton temps. Tout ça parce que tu n'étudies pas sérieusement les maths, tu te contentes d'idées vagues.
Bonjour,
Ansset, corrige-moi si je me trompe (et il y a une belle proba), est-ce qu'il faut comprendre que dans la "vérité" mathématique du point, la physique est un écran de fumée qu'il nous faut peut-être percer ?
Cordialement.
Alors ça ça me laisse perplexe, j'aurais juré que le segment [AA] pouvait définir le point A.
Je ne comprends pas comment ça peut donner un ensemble d'ailleurs.
Sur un ensemble E=[0;1] défini sur |R, si je prends le sous-ensemble [1;1], je désigne également le nombre réèl 1.
Mais vous dites que non, c'est en réalité l'ensemble {1}, le singleton qui comporte une seul élément, le nombre 1.
Merci Médiat pour cette définition du point, que je comprends comme étant un objet axiomatique.
Le segment quant à lui est-il également un objet axiomatique, ou peut-il se déduire du point ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Bonjour,
Quelle est la (re)définition mathématique du verbe «être».
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Oui, c'est bien un objet axiomatique définit par des propriétés (comme tous les objets mathématiques) en relation avec celles du point.
Voir par exemple : http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AS..._17__103_0.pdf
Je vous conseille en particulier le §1 du chapitre I
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Je ne réponds pas pour ansset, mais personnellement, j'ai tendance à voir tous les objets mathématiques (ceux issus de l'intuition physique en tout cas) de cette façon ; la fumée nous permet d'entrapercevoir quelque chose, mais il faut chasser cette fumée pour avoir une compréhension précise (au sens mathématiques) de cette chose.
Un physicien pourrait d'ailleurs dire exactement le contraire : dans la vérité physique du point, la mathématique est un écran de fumée !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
bjr,
pour moi, même pas un "écran de fumée". les maths n'ayant pas besoin de la physique pour définir mathématiquement le point.
donc dans ce sens il n'y aurait rien à "percer".
( j'ai peut être mal saisi ta phrase ).
dans l'autre sens , la définition "physique" du point m'échappe. ( si elle existe )
ou bien on parle d'un point "matériel" ( dont la nature doit être précisée ) , et il est d'une tout autre nature que le point "mathématique". ( voir par exemple les limites physiques de mesure ,etc ... )
soit on évoque ( dans une équation ) un "point" qui se retrouve donc intrinsèquement mathématique dans le cadre de l'équation et dont la signification physique dépend du cadre physique dans lequel on se place.
bref, pour moi, ce n'est pas une question "d'écrans de fumée" mais de contexte et de définition.
Bonjour,
Quand meme, 4 pages pour en arriver là.
On peut bien sur définir le point, les droites etc... de manière purement axiomatique à la Euclide-Hilbert (i.e point, droites, plans sont des notions premières qui sont uniquement définies par leurs relations, et que l'on peut tout à faire alors remplacer par chaise, table et pot à bierre comme dit plus haut). Mais ca n'est pas vraiment comme ca qu'on fait en general.
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Deja, et c'est important, il faut noter qu'il n'y a pas une seule définition de point. Le point est un objet qui a des definitions differentes en fonctions des contextes (et qui ont toutes pour point commun l'"intuition géométrique" le point c'est le composant "elementaire" de l'espace où il se trouve, et encore... les choses peuvent etre assez differentes). La définition d'un point du plan affine, et celle de point d'un topos n'ont rien à voir, meme si on parle toujours de "point" (et ca n'est pas un probleme, c'est simplement le contexte qui change), et meme si vu sous le bon angle ces definitions ont une familarité certaine.
Dans votre cadre (celui de la géométrie affine elementaire), la definition qui vous interesse est celle ci.
Un plan (resp. une droite) affine c'est un ensemble, A, muni d'une action simplement transitive du groupe R^2 (resp. de R). Un point du plan affine A, est simplement un element de A.
On assimile souvent un point a de A, au sous ensemble {a} de A.
Si la première defintiion ne vous parle pas, c'est pa grave, vous pouvez y penser simplement comme à R^2 (resp. R), un fois qu'on aura fait le choix d'un point O (qu'on appelle l’origine).
Qu'est ce que la longueur dans ce contexte?
La longueur c'est un nombre réel (a priori positif eventuellement infini) qu'on choisit d'affecter à certains sous ensembles de la droite, ou du plan (ou de choses plus compliqués).
Elle doit satisfaire un certain nombre de propriété, parmi lesquelles la plus important etant
Un choix possible de longueur sur la droite (que je vais assimilier à R pour simplifier et aussi parce que ca n'a aucune importance) consiste à dire
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Votre question devient alors, une fois ce choix de si A et B sont deux sous ensemble de la droite en bijection, est ce vrai que
Au passage vous noterez que vous pouvez obtenir la longueur de certains sous ensembles du plan grace aux propriété de la longueur (e.g
Edit: les parties en spoiler contiennent de petites digressions pas essentielles à la compréhension de mon laius.
Bonjour à tous, (moins ardu que MiPaMa)
je crois qu'il y a un aspect de la question qui n'a été que très vaguement survolé, lorsque redrum13 parle de taille infinitésimale.
Aussi, pour éviter des écueils dans le raisonnement, peut-être faut-il rappeler que la notion de juxtaposition de points n'a pas de sens en mathématique. Il est impossible de déterminer l'abscisse d'un point qui serait contigu à un autre. Donc de deux choses l'une, soit deux points sont semblables et ont la même abscisse, soit ils sont distincts et il existe alors forcément une infinité de points entre les deux.
Par ailleurs, pour bien visualiser ce qui est en jeu lorsqu'il s'agit de passer d'un segment (voire plutôt une droite entière) à un point ou inversement, il n'est à mon sens pas utile de faire intervenir des divisions, il suffit simplement de considérer une projection (par exemple orthogonale
Il n'existe pas de plus petite valeur de
