Bonjour Miss,
C'est bien ce que je voulais dire avec ma définition : on définit un vocabulaire (plus ou moins liée à une intuition) et puis ensuite on fait des mathématiques ; en ayant une vision trop signifiante du vocabulaire, il faudrait admettre que Gödel a démontré l'existence de Dieu, et Arrow que la démocratie est impossible.Envoyé par MiPaMa
Sinon, juste parce que j'aime bien entretenir la confusion (comme stimulateur de curiosité) on peut citer la topologie sans points.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Tout d'abord un préalable pour tenter d'être bien compris : cette notion de droite comme ensemble de points ne me gène pas personnellement, mais je constate qu'elle pose des problèmes à pas mal de gens.
Je pense que cela vient du fait que l'on dit et que l'on sait que l'infini n'existe pas, or cette définition y fait référence.
Personnellement je sursaute toujours lorsque le lis que la définition d'un terme dépend du contexte. Passons le cas où on cite un bout de phrase incompréhensible sans contexte. Mais là, il s'agit d'un contexte bien défini : la géométrie.
Si au lieu de dire "une droite est l'ensemble des points qui ..." on disait "une droite est le lieu géométrique des points qui ...", je pense que cela ne changerait en rien la définition fondamentale. Mais dans la première définition on part de la connaissance du point pour en déduire la définition de la droite, alors que dans la seconde, on définit une droite et on dit que n'importe quel point qui [est aligné] sera sur cette droite. Personnellement je préfère cette seconde logique.
Petit exercice "Soit une ligne et un point P extérieur à la ligne. Définir le point M, appartenant à la ligne, le plus proche de P".
Bien-sûr l'énoncé est imprécis, toute l’ambiguïté de ce fil réside dans cette imprécision. En fait, cet énoncé n'est pas réellement imprécis. Comme il est demandé de définir le point le plus proche, c'est que ce point existe, il peut être un angle de la ligne polygonale ou un point de tangente, c'est à dire un point connu, parce qu'il a déjà été calculé pour créer la ligne. Si ce point n'est pas encore existant, l'énoncé aurait dit "calculer".
Il me parait raisonnable de ne pas comprendre l'expression "ensemble de chose(s)" lorsque "chose" n'existe pas.
Désolé, Redrum, mais [1,1] n'est pas égal à 1.
De même, un segment étant (quelle que soit la définition) un ensemble de points, ne peut pas être égal à un point.
Cordialement.
Ici, le verbe être est du vocabulaire courant. Comme dans "un cercle de rayon R et de centre O est l'ensemble des points M du plan trels que OM=R". Ce "est" est généralement traduit par un = dans la définition mathématisée. Toujours sans mathématiser, le segment [AB] est l'ensemble des points M du plan (ou de l'espace) qui sont sur (AB) (ou sur une droite passant par A et B si A=B) et "entre A et B".
Cordialement.
j'ai l'impression de deux discussions en parallèle.
l'une sur les critères de définition formels , et l'autre ( initiale ) sur la conception ( issue de l'intuition physique ) d'un ensemble vu sous l'angle d'une "addition" d'éléments ordonnés.
bref, les questionneurs ici pensent "notions physiques" et les réponses sont mathématiques.
je propose à ceux qui cherchent encore à faire la distinction de préciser leur point de vue.
d'un point de vue "physique" , on admet qu'on ne peut "descendre" en dessous de la longueur de Plank. Ce qui implicitement donne une "taille" au "point".
quel que soit le contexte mathématique utilisé un point mathématique n'a pas de "taille". ( qu'on me corrige s'il le faut ).
Jai donc l'impression d'un dialogue , non de sourds mais d'approches qui se voudraient conciliables et qui ne le sont pas sur le fond.
j'ai dit à tord "faire la distinction" au lieu de "comprendre la distinction".
Nous avons la même analyse, mais je précise qu'ici nous sommes dans le forum de mathématiques du supérieur, les réponses se doivent d'être mathématiques, et si elles montrent, une fois de plus, que l'intuition usuelle appliquée à des ensembles infinis ne peut aller que dans le mur, c'est juste qu'il faut changer sa façon de penser dès que l'infini (mathématique) intervient.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
j'en suis bien d'accord, c'est pourquoi je renvoie la balle à ceux qui interrogent , et non à ceux qui répondent.
Je me méfie du verbe "être", trop vague en général et je me disais qu'en mathématique, ce verbe avait peut-être été redéfini précisément (et qu'on me l'avait dit quand j'étais à l'école et que je l'avais oublié).Un segment est un ensemble de points.
Quelle est la (re)définition mathématique du verbe «être».
Dans l'exemple qui nous occupe ici, la traduction de la phrase de définition du segment donnerait :
un segment = un ensemble de point
et donc aussi
un ensemble de point = un segment
Je comprend mieux pourquoi je suis mal à l'aise avec la géométrie.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'ai du mal à voir à quelle contradiction logique je m'expose si je passe outre en identifiantDésolé, Redrum, mais [1,1] n'est pas égal à 1.?
J'imagine que c'est évident pour un mathématicien mais pas pour moi...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ca n'est pas le meme type d'objet, tout simplement.
Maintenant en pratique (et c'est un abus de langage) on identifie parfois le point a et la partie {a}, qu'on qualifie aussi de point. Mais ca n'a pas grande importance.
Si cela n'a pas d'importance (pour vous), je vais laisser gg0 dire pourquoi il estime que cela en a une (pour lui).
Deux types d'objet différents qui partagent les même propriétés peuvent être identifié.
Cet abus de langage me semble relever du transtypage en informatique.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
il me semble que cela peut en avoir ( d'un point de vue purement mathématique ) mais que ce n'est pas le sujet de fond de ce fil.
qui mélange ( mais je promets d'arrêter de me répéter ) intuition physique initiale et modèles mathématiques !
Re : Pourquoi les segments ne sont-ils pas tous égaux ?
Sefjm,
Confondre x et {x} dans tous les cas interdirait par exemple de définir le cardinal 0 par
Cependant, pour un segment (ou un intervalle, comme dans ton exemple), ça pose un vrai problème, 1 n'est pas un intervalle.
MiPaMa intervient en mathématicien(ne) professionnel, en pensant à des situations pratiques où la distinction n'est pas nécessaire pour celui qui sait parfaitement de quoi il retourne. Ce n'est pas le cas de l'auteur de ce fil de discussion.
Cordialement.
NB : J'ai l'impression que le sujet initial est noyé !!
M'enfin, ce ne sont pas le meme objet, point (comme dans point final, pas comme dans point mathématique).
Donc oui 1 n'est pas la meme chose que {1} (et c'est encodé dans ce qu'on appelle l'axiome de fondation, il n'existe pas d'ensemble a tel que a={a}, mais bref, c'est sans rapport avec ce fil).
Maintenant c'est un abus de langage qu'on se permet souvent e.g "l'intersection de deux droites est generiquement un point" (où l'on devrait dire "l'intersection de deux droites est generiquement réduite à un point" ou encore "l'intersection de deux droites est generiquement un singleton").
moi aussi !on entre dans du pinaillage loin du sujet initial !
Cdt !
Merci Médiat pour ce document précieux et passionnant !
Il est étonnant d'y découvrir que Hilbert ne propose aucune définition du point, ni de la droite, ni du plan ! Il les désigne un peu énigmatiquement par des "êtres du premier, du deuxième et du troisième système".
Ainsi, il place sur un même niveau axiomatique les points, les droites et les plans.
Or, les droites et les plans ne sont-ils pas définis comme des ensembles de points, alors que les points ne sont définis que par rapport à eux-mêmes ? Aussi, en toute rigueur, ne faudrait-il pas définir 2 axiomatiques distinctes, avec d'un côté les points (que l'on ne peut pas réduire), et de l'autre côté les segments, les droites et les plans (que l'on peut réduire à des ensembles de points) ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Cela n'a rien d'étonnant, c'est le principe de base de l'axiomatique
Mais non, ils sont définis les uns par rapport aux autres ce qui est appelé ici 'système' pourrait être remplacé par des prédicats, mais cela alourdirait inutilement les axiomes (les formules en général)
Dernière modification par Médiat ; 01/12/2016 à 19h32.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Comment les points sont-ils définis vis-à-vis des droites et des plans ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Regarder, par exemple l'axiome 1.1
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je n'arrive pas à comprendre. L'axiome 1.1 indique simplement qu'une droite est définie par deux points...
Intuitivement, le point semble se situer à un niveau plus fondamental que le segment, la droite ou le plan, puisque ces derniers ne peuvent pas exister sans points, alors que les points peuvent exister sans segments ni droites (et éventuellement sans plans).
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Non, vous avez tout faux, la première phrase du §2 de Hilbert est pourtant claire.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui merci gg0, j'avais bien pigé la différence entre les deux notions. Pour résumer un ensemble à un seul élément n'est toujours qu'un ensemble.Désolé, Redrum, mais [1,1] n'est pas égal à 1.
De même, un segment étant (quelle que soit la définition) un ensemble de points, ne peut pas être égal à un point.
Cordialement.
Et donc, le segment [AA] reste un segment, constitué d'un seul point, si je suis le même raisonnement?
Désolé, je me suis mal exprimé, je voulais dire que j'avais bien compris qu'il y avait une différence entre les deux objets:
le nombre réèl 1, n'est la même chose que l'ensemble {1}.
Un truc qui me chiffonne c'est que l'intersection de deux ensembles reste un ensemble.
Or l'intersection de deux droites donne un point, et non pas un ensemble.
Et pourtant il y a bien une bijection entre :
* Les points qui constituent une droite
* Les nombres réèls qui constituent l'ensemble des réèls |R.
C'est ce que Mipapa et ggo vous disent plus haut , l'intersection de deux droites est bien un singleton mais il y a des abus de langages .
Bonjour,
Non, regardez la réponse de MiPaMa, message #75.
[EDIT] Grillé
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ha oui, lol
C'était effectivement marqué noir sur blanc
Pour être tout à fait clair, quelqu'un pourrait-il confirmer que les deux propositions :
1/ les droites et les segments (donc les longueurs) sont des objets axiomatiques ;
ET
2/ les droites et les segments sont des ensembles de points ;
ne sont pas contradictoires ?
La grossièreté et l'invective sont les armes préférées d'une pensée impuissante.
Aucune raison d'être contradictoires. On peut définir des ensembles de points de façon que ces ensembles vérifient les différentes axiomatiques équivalentes de la géométrie euclidienne. C'est d'ailleurs plus ou moins fait dans les cours modernes de géométrie.
Bonsoir gg0,
Je vais te faire un aveu, il y a très peu de temps que j'ai pris conscience qu'un point n'avait pas d'existence, donc que ce n'était pas un objet,
Depuis très longtemps, je manipule des points, généralement par leurs coordonnées. Un base de données dans le contexte géométrique et particulièrement en DAO, SIG etc. comporte des objets, c'est à dire les lignes, des objets centrés etc. Il y a aussi de points cotés, c'est à dire qui définissent une altitude.
Puis il se trouve qu'il y a des points, calculés pour je ne sais quelle raison, mais qui ne sont pas utilisés, ni pour des lignes ni pour des objets, ni pour autre chose. Ces points sont définis, mais existe-il ? C'est la question que je me suis posée. La réponse a été NON, après longue réflexion. En d'autres termes, on peut les supprimer sans perdre aucune information.
Bien-sûr, j'ai relu des tas de trucs et je suis arrivé à la conclusion que l'expression "une droite est l'ensemble des points qui ... " n'a pas de sens, puisqu'un point n'a pas d'existence, alors que la bonne définition d'une droite est "une droite est le lieu géométrique des points qui ... ".
Ce n'est pas du tout le même chose. Dans la première définition, sans signification à mon avis, on suppose la définition de point connue, ce qui est faux.
Pour référence une définition de point : "Un point est [...] un point", dans le présent fil.
Je sais très bien que c'est un dialogue sans issue, mais il se trouve que cela perturbe des gens, puisqu'ils posent la question.
Petit commentaire personnel et un peu HS, on discute de notions théoriques alors que des notions "utiles" sont systématiquement contestées. Tu sais très bien de quoi je parle.
