Primitive de cos(x)cos(kx)

invite360c56f7 · 03/12/2016, 10h30

Bonjour à tous !

Pour développer une série de Fourrier, je recherche la primitive entre -Pi et Pi de cox(x)*cos(k*x) k étant un entier naturel (de la série de Fourrier).

Des idées ?

Merci !

**gg0** · 03/12/2016, 10h33

Bonjour.

On linéarise, par exemple avec cos(a)cos(b)= ...

Cordialement.

invite360c56f7 · 03/12/2016, 10h36

AHHHH

C'est triste de voir que ces formules trigo sont parties bien loin; mais ca me fait plaisir de réactiver ca !

Merci pour ton aide !

**gg0** · 03/12/2016, 10h51

Pour de futurs lecteurs ignorant de la trigo, je rappelle :
cos(a)cos(b)=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
Formule qui se démontre à partir des formules d'addition en développant le second membre.

Cordialement.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h04

je trouve plus simple de faire une double IPP .
On retrouve I(k)=fct(k,x) +k²I(k)
( attention il faut traiter le cas |k|=1 à part )

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h08

ps :
j'avais lu primitive, mas en fait c'est une intégrale, on doit pouvoir le faire effectivement directement.

**gg0** · 03/12/2016, 11h18

Heu ... par linéarisation, c'est une ligne !!

Par contre, tu fais bien de noter que pour k=1 il se passe un cas particulier. Donc finalement, il faut 2 lignes !

Cordialement.

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h24

Envoyé par gg0

Heu ... par linéarisation, c'est une ligne !!
.

ben j'ai pas vu comment tu fait apparaître le terme en k² par linéarisation, ni les diff en fct de la parité de k !
mais je n'ai pas essayé.

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h33

edit : si , bien sur !

**gg0** · 03/12/2016, 11h35

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Bien 2 lignes sur mon écran.

Cordialement.

NB : j'aqi fait ce calcul en cours pendant des années, les séries de Fourier étant au programme en IUT industriel.

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h40

tes calculs sont faux qcq part :
j'obtiens pour I(k)
I(1)=pi/2(et pas pi )
I(2)=2/3
I(3)=0
I(4)=-2/15
donc en dehors du cas 1,
I(k)=0 si k impair
I(k)=((-1)^(k/2+1))*2/(k²-1)

vérifié sur wolfram..

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h44

évidement , j'ai intégré entre -pi/2 et pi/2 ce qui est plus compliqué !

**gg0** · 03/12/2016, 11h54

Même entre -pi/2 et pi/2, ça se fait en deux lignes.

Cordialement.

invite51d17075 · 03/12/2016, 11h58

oui, quand je disais "plus compliqué" cela concerne les résultats qui dépendent de k !
je reste un abruti sur ce coup.

**gg0** · 03/12/2016, 14h21

Bof !

Il nous arrive à tous de dérailler ! Ce matin, j'ai eng.. sur un autre forum un contributeur parce qu'il avait enlevé son message, alors que je ne l'avais pas retrouvé et qu'il était bien là !

Cordialement.

**stefjm** · 03/12/2016, 17h21

Envoyé par gg0

Bien 2 lignes sur mon écran.

Il doit même y avoir moyen d'aller au but directement vu la périodicité de cos.

**gg0** · 03/12/2016, 17h45

Heu ... comme il y a deux cas ...

Par contre, s'il s'agissait de trouver la série de Fourier, il n'y a même rien à faire

Cordialement.

**stefjm** · 03/12/2016, 18h58

Oui. Deux lignes courtes sans calculs puisque la valeur moyenne de cos sur une période est nulle.

**gg0** · 03/12/2016, 19h08

Désolé, je ne comprends pas !

La valeur moyenne d'un cos est nulle, mais ici ce n'est pas un cos, mais un produit de cos. Et la valeur moyenne d'un produit de cos n'est pas nécessairement nulle (voir le cas k=1). Et surtout, Robteuch ne connait peut-être pas ces notions !

Cordialement.

NB : Une preuve en une ligne est donnée par la série de Fourier de cos. Encore faut-il connaître ce résultat !

**stefjm** · 03/12/2016, 20h10

après linéarisation des deux cas, le résultat tombe sans calcul supplémentaire.

invite51d17075 · 03/12/2016, 21h06

Envoyé par stefjm

après linéarisation des deux cas, le résultat tombe sans calcul supplémentaire.

un peu facile de venir après la résolution.
encore faut-il avoir identifié les deux cas à l'avance ! comment ?
ça fait un peu 'inspecteur des travaux finis" , non ?

**stefjm** · 05/12/2016, 11h44

Bonjour,
En aveugle, la linéarisation du produit donne la somme de deux cosinus dont l'un peut être à pulsation nulle pour k=1.
Quel que soit k entier, $\text{[math]}$

Quand on sait qu'il y a du Fourier derrière, on sait qu'on trouve les composantes par calcul de valeur moyenne du produit de la fonction à décomposer (cos(x)) avec la projection correspondante (cos(kx)).
La valeur moyenne d'un cosinus est nulle et celle d'un cosinus^2 vaut 1/2 (C'est le classique rapport $\text{[math]}$ entre valeur maximum et valeur efficace).

La linéarisation est le plus rapide.

**gg0** · 05/12/2016, 14h05

Quand on connaît Fourier, on sait que la série de Fourier de cos est f(x)=cos(x). Donc toutes les intégrales donnant les a_n sont nulles sauf celle de a₁; et en prime, avec les b_n, on a :
$\text{[math]}$

Et tout ça est très évident quand on sait que les sin(nx) et cos(nx) forment une base hilbertienne pour le produit scalaire $\text{[math]}$

Cordialement.

**stefjm** · 05/12/2016, 14h21

Oui, c'est encore un cran de plus. L’orthogonalité pour les aspects géométriques de la SF et les valeurs moyennes pour les aspects "mesures physiques".

Primitive de cos(x)cos(kx)