primitive

[invite3de1df37]

Bonjour à tous.

Pouvez-vous m'aider à calculer une primitive de la fonction:

x.tang x

Merci d'avance.

Chouca65
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[invite1237a629]

Plop !

Essaie de faire une intégration par parties :

[Dydo]

Regarde du côté de la primitivation par parties, effectivement l'identité se dérive ou s'intègre relativement facilement, quand à la tangente tu peux soit la dériver, soit voir qu'elle est de la forme u'/u

Bon courage !

[invite57a1e779]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à calculer une primitive de la fonction:

x.tang x

Il y a un petit problème...

Une intégration par parties, en posant , donc et pour lequel je choisis conduit à

et les primitives de ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

En le faisant dans l'autre sens, ça devient faisable, non ?

[invite57a1e779]

1&?
?tiMoiMolette;1722986]En le faisant dans l'autre sens, ça devient faisable, non ?[/QUOTE]

Si c'était faisable "dans l'autre sens", on pourrait exprimer les primitives de à l'aide des fonctions usuelles. On aurait ainsi un résultat très fort en théorie de Galois via les corps différentiels, et tu pourrais prétendre, MiMoiMolette au prix Abel, à la médaille Fields, ... parce que tu aurais enfin démontré la conjecture de Riemann, ainsi que celle de Goldbach.

Si je pose , donc , pour tout choix de , je suis contraint d'avoir , et l'intégration par parties

et je ne vois aucun choix de la constante qui facilite le calcul...

[invite1237a629]

Si c'était faisable "dans l'autre sens", on pourrait exprimer les primitives de à l'aide des fonctions usuelles. On aurait ainsi un résultat très fort en théorie de Galois via les corps différentiels, et tu pourrais prétendre, MiMoiMolette au prix Abel, à la médaille Fields, ... parce que tu aurais enfin démontré la conjecture de Riemann, ainsi que celle de Goldbach.

Si je pose , donc , pour tout choix de , je suis contraint d'avoir , et l'intégration par parties

et je ne vois aucun choix de la constante qui facilite le calcul...

Hey ! J'ai compris pourquoi, depuis le début je n'ai eu de cesse de penser à l'arctangente et non à la tangente


Désolée xD

[invite39cbe40b]

essaye ça
une integration par partie de xtanx donne dans la deuxieme integrale int(G)
ou G est une primitive de tan qu'on calcule avec le changement de variable u=tan(x/2)
puis calcul int(G)
je croit que tu devrait t'en sortir même si c'est un peu long

[invite57a1e779]

essaye ça
une integration par partie de xtanx donne dans la deuxieme integrale int(G)
ou G est une primitive de tan
puis calcul int(G)
je croit que tu devrait t'en sortir même si c'est un peu long

C'est l'objet de ma première réponse, et on ne peut pas y échapper : ce qui est noté ici "int(G)" n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles...

[invite39cbe40b]

tu as raison
mais si on derive f(x)=xtanx
f'=tanx + x(1+tan^2(x))=f/x + x + f^2/x
on pose f=k+x
k'=k/x + 2k + k^2/x
si k ne s'annule pas g=1/k
g'/g^2=1/(xg) + 2/g + 1/(xg^2)
g'=g(2x+1)/x +1/x
qu'on sait résoudre avec le cours
ou on obtient facilement un développement en série entière
ça dépend après du pourquoi on veut une primitive

[invitec053041c]

tu as raison
mais si on derive f(x)=xtanx
f'=tanx + x(1+tan^2(x))=f/x + x + f^2/x
on pose f=k+x
k'=k/x + 2k + k^2/x
si k ne s'annule pas g=1/k
g'/g^2=1/(xg) + 2/g + 1/(xg^2)
g'=g(2x+1)/x +1/x
qu'on sait résoudre avec le cours
ou on obtient facilement un développement en série entière
ça dépend après du pourquoi on veut une primitive

Regarde le post de God's Breath.
Tu pourras faire comme tu veux, si tu arrives à exprimer cette primitive, alors tu sauras exprimer une primitive de ln(cos(x)), qu'on ne sait pas exprimer grâce aux fonctions usuelles, donc te casse pas la tête .

[invite57a1e779]

g'=g(2x+1)/x +1/x
qu'on sait résoudre avec le cours
ou on obtient facilement un développement en série entière
ça dépend après du pourquoi on veut une primitive

J'attends de voir la résolution "avec le cours"...
Et si on veut un développement en série entière, alors autant partir de celui de , on multiplie par et on intègre terme à terme... mais on ne sera pas plus avancé.

S'il s'agit de dire qu'il existe des primitives, c'est facile.
Mais s'il s'agit de les calculer explicitement, c'est impossible.

[invite39cbe40b]

mais on peut a l'aide de cette methode obtenir un devellopement en serie entiere de g et par la suite obtenir un equivalent ....et pas mal de renseignement sur la primitive comme je lui est dit tout depend pourquoi il veut cette primitive

[invite57a1e779]

mais on peut a l'aide de cette methode obtenir un devellopement en serie entiere de g et par la suite obtenir un equivalent ....et pas mal de renseignement sur la primitive comme je lui est dit tout depend pourquoi il veut cette primitive

un équivalent au voisinage de quel point ?

[invite39cbe40b]

PI/2 par exemple

[invite57a1e779]

PI/2 par exemple

Au voisinage de , on a , donc et .
Cette dernière fonction n'étant pas intégrable sur , on a immédiatement, au voisinage de :
.
La série entière, et il faudrait d'abord la calculer..., ne donnerait pas mieux, et pas plus rapidement.

J'attends toujours de voir la résolution "d'après le cours", de l'équation en

[invite39cbe40b]

bien joue.
en se qui conserne "d'aprés le cours " on resout effectivement l'equa diff avec du cours mais on ne fait pas mieux que de retrouver f qui est xtanx et non pas sa primitive j'ai du faire une confusion

[PA5CAL]

Bonsoir

Pour avoir le résultat on peut faire appel aux polylogarithmes. On ne peut de toute manière pas s'en sortir avec les seules fonctions usuelles.

La primitive de f(x) = x.tan(x) est F(x) = ( i/2 ).( x² + PolyLog[ 2 ; - e^2.i.x ] ) - Log( 1 + e^2.i.x )

[PA5CAL]

Pour rappel, la dérivée du dilogarithme est donnée par :

d(PolyLog[ 2 ; x ])/dx = - Log( 1-x )/x