cardinale de Q dans [0,1]

[invite03ef28af]

bonsoir, voici mon problème, je m'interesse a la fonction de Weierstrass :
f définie sur [0, 1]
si x ∈ R \ Q : f(x) = 0

- si x ∈ Q f(x) = 1/q avec q tel que x=p/q
voici la question posant probleme:
Soit ε ∈ R+* Montrer que l’ensemble des nombres rationnels de [0, 1] s'ecrivant sous la forme p/q avec q ∈ N tel que 1/q> ε, est fini.

Je n'ai vraiment aucune idée de montrer qu'un ensemble est fini ou infini, je connais neanmoins les preuves de densité de certains ensemble dans d'autres. Pourrais-ce m'aider ?
Merci de votre réponse
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[gg0]

Bonjour.

C'est pourtant très simple. Par exemple avec epsilon =0,3, tu cherches des fractions p/q comprises entre 0 et 1 (donc quelles valeurs pour p ?) telles que 1/q>0,3 (donc quelles valeurs pour q ?).

Je n'ai fait que décoder l'énoncé

[invite03ef28af]

on obtient 0<=p<=q<1/epsilon et en invoquant la denombrabilité de N on peut donc conclure ? Est-ce seulement ca

[gg0]

Pourquoi parles-tu de dénombrabilité ? Ça n'a rien à voir, c'est un exercice d'arithmétique élémentaire.
Reprends à la main mon exemple avec epsilon =0,3, écris toutes les fractions, tu verras tout de suite que c'est élémentaire.

[A voir en vidéo sur Futura]