Equation différentielle-vitesse de refroidissement d'un corps

[inviteac3c9c59]

Bonjour,
J'ai un problème sur un exercice d'oral 2 de CAPES dont voici l'énoncé :

Une loi de Newton stipule que la vitesse de refroidissement d'un corps reste proportionnelle à la différence entre la température de ce corps à l'instant t et la température constante de l'air ambiant (le coefficient de proportionnalité dépend essentiellement de la surface de contact entre le corps et son milieu, et on considérera ici que ce coefficient est constant).

1) Préciser et résoudre l'équation différentielle vérifiée par la température téta(t) à l'instant t>t₀, d'un corps porté initialement (càd à l'instant t₀) à la température téta₀, et qui est plongé dans un environnement dont la température constante est égale à téta_C.

2) La température de votre cuisine (et de votre appartement) est constante, égale à 20°C. Quand vous le sortez du four à 20h, la température du gâteau que cous avez préparé pour vos invités est de 180°C. Vous observez qu'à 20h30 elle est encore de 100°C.
A quelle heure pourrez vous le servir à la température idéale, soit 25 °C?

3) Comme vous voulez absolument servir votre gâteau à 22h précises, vous commencez par le placer dès 20h sur le rebord de votre fenêtre, où l'air ambiant est à une température de 0°C.
Combien de temps devrez-vous le laisser sur ce rebord avant de le rentrer à l'intérieur pour que vos invités puissent le déguster à 22h à la température idéale?

Pour la première question, j'ai répondu :
l'équation différentielle : téta'(t)-n*téta(t)=-n*téta_C
avec n dans R le coefficient de proportionnalité
solution équadiff : y(t)=téta_C+Ke^n*t
avec K dans R
Mon problème se situe dans la seconde question : je n'arrive pas à utiliser mes conditions initiales.
J'ai commencé par :
téta_C=20
téta₀=180
mais ce que trouve bizarre c que je n'ai pas téta₀ dans mon équadiff.
Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?
Merci d'avance.
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[yat]

Le teta₀ n'apparait pas forcément tel quel dans ton équation. Pour déterminer les constantes de ton équation tu as besoin de la température extérieure et de la température du gateau à deux instants distincts. Tu peux donc commencer par teta_c=20, mais pour la suite, et avec ton écriture de l'équation, il vaudrait mieux continuer par y(0)=180 et y(1800)=100.

[invite6f64ba65]

Et comment avez-vous répondu au n°3 de cet exercice. Je bmoque dessus!

[yat]

La deuxième question t'a permis de déterminer K.

Pour la troisième, tu as un instant t0 ou le gâteau est à 180 degrés, et un instant t2 ou le gateau devra être à 25 degrés. Tu cherches l'instant t1 ou tu vas rentrer le gâteau, en sachant qu'entre t0 et t1, ton teta_c sera de 0 degrés, et qu'entre t1 et t2 ton teta_c sera de 20 degrés.

Comme tu as pu faire la deuxième question, tu es capable de calculer la température finale du gâteau en fonction de K, de la température ambiante, de la température de départ du gâteau et de la durée. Il suffit donc de calculer la température du gâteau à l'instant t2 en fonction de t1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f64ba65]

J'ai trouvé la température du gâteau à l'instant t2 en fonction de t1. Mais j'ai un doute : entre les instants t0, t1 et t2, est-ce qu'effectivement le coefficient de proportionnalité n (trouvé à la deuxième question) reste fixe?

[yat]

Le coefficient est constant, c'est dit dans l'énoncé.

Par contre, peut-être une confusion dans mon précédent post : Je pense que ce coefficient, ce n'est pas K, mais n. Le K, lui, devra être recalculé en fonction des conditions initiales.

[invite6f64ba65]

Oui, je me disais cela aussi. Donc j'ai trouvé un K1 entre les instants t0 et t1 puis entre t1 et t2 j'ai posé y(0)=K1*exp(n*t1) et y(t2-t1)=25 pour trouvé un nouveau K2. C'est bien cela ?

[yat]

Donc j'ai trouvé un K1 entre les instants t0 et t1 puis entre t1 et t2 j'ai posé y(0)=K1*exp(n*t1) et y(t2-t1)=25 pour trouvé un nouveau K2. C'est bien cela ?

Ca m'aurait plus embrouillé qu'autre chose de changer d'échelle de temps pour avoir y(0) en t1 et y(t2-1) en t2 comme tu le fais... Mais je pense que c'est bon. Une fois que tu as K1 et K2, il ne reste plus qu'à trouver le t qui égalise les deux expressions.

[invite9948d628]

Vous trouvez quoi pour le n ?

C'est normal que n soit constant puisque ce coefficient de proportionnalité dépend de la nature du corps.

[invite6f64ba65]

Merci yat pour ton aide précieuse! Pour répondre à alch35 j'ai trouvé n=-3,85081766978E-04