Décomposition en valeurs singulières

[invite4308cf33]

Bonjour

Dans un exercice, je devais décomposer cette matrice en valeurs singulières :



Je connais la méthode classique, le problème étant ici que les calculs sont très longs et très fastidieux.

On sait que

Je commence par chercher U dont les colonnes sont composées des vecteurs propres orthonormés de la matrice .

J'ai trouvé

Mais là je me demande comment je peux trouver les vecteurs propres orthonormés. Polynôme caractéristique, valeurs et vecteurs propres puis enfin orthonormalisation ? N'existe-t-il pas une méthode plus simple ? Car là les calculs risquent d'être très complexes, je n'ai pas le droit à la calculatrice...

Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

Tu sais que tu n'as que 2 valeurs propres non nulles, ça simplifie un peu les calculs.

[invite4308cf33]

Merci pour ta réponse, effectivement J'ai donc trouvé les 3 valeurs propres : 0, 9 et 16 ainsi que leurs vecteurs propres respectifs.
Pour 0, le vecteur propre associé est (1, 0, 3/4).
Pour 9, le vecteur propre associé est (1, 0, -4/3).
Pour 16, le vecteur propre associé est (0, 1, 0).

J'ai ensuite tenté de les orthonormaliser, ce qui donne :
Pour 0 : (4/5, 0, 3/5).
Pour 9 : (3/5, 0, -4/5).
Pour 16 : (0, 1, 0) - il est déjà orthonormalisé.

Par contre je bloque, sur le cours que j'ai trouvé, ils écrivent qu'une matrice se découpe comme suit avec :
- Les colonnes de U composées des vecteurs propres orthogonaux de .
- Les colonnes de V composées des vecteurs propres orthogonaux de .
- La matrice S est diagonale avec les racines carrées des valeurs propres de U (ou de V) en ordre décroissant.

Selon cette méthode, j'aurais donc

Ensuite je poursuis avec la matrice V, je trouve

On a les valeurs propres 9 et 16, respectivement associées aux vecteurs propres et . Orthonormalisés, cela donne et .

Donc

J'ai suivi la méthode donnée, les colonnes correspondent aux vecteurs propres orthonormalisés mais dans l'ordre décroissant des valeurs propres (je ne sais pas si je suis très claire)... Ici la première colonne correspond à la valeur propre 16 et la deuxième à la valeur propre 9.
Pour U la première colonne correspond à la valeur propre 16, la deuxième à 9 et la troisième à 0.

Et pour S, j'ai trouvé :



Le problème étant que je viens de jeter un coup d'œil à la correction de l'exercice et leurs matrices U, V et S ne sont pas les mêmes que les miennes. Les valeurs semblent être les mêmes mais dans un ordre totalement différent !

Est-ce que j'ai fait une erreur quelque part ? Ma décomposition est-elle juste ?
Je précise que je viens de commencer la leçon, ce n'est pas très familier pour moi.

Merci d'avance pour toute aide
Bonne soirée à tous !

[invite4308cf33]

Personne pour m'aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4308cf33]

Je tiens à préciser que dans le corrigé de l'exercice, ils ont trouvé :







Avec

Comme vous le voyez, les valeurs sont similaires mais dans un désordre total par rapport aux matrices que j'ai trouvées. Aurais-je fait une erreur quelque part ? Comment ont-ils fait pour trouver leurs matrices ?

Merci d'avance pour tout élément de réponse

[invite4308cf33]

Ah ben en fait, je viens de m'apercevoir que mes calculs sont également justes
J'ai retrouvé la matrice A de départ en multipliant ma matrice U*S, puis U*S*V^(T).
Visiblement, les deux techniques sont bonnes !

C'était pas bien difficile... Excusez-moi donc pour ces up répétitifs...