Résolubilité d'un groupe d'ordre 24

[inviteb3412e7c]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice où je dois montrer qu'un groupe d'ordre 24 est résoluble.

J'ai déjà montré que tous les groupes d'ordre inférieur ou égal à 23 sont résolubles.

Comme , je regarde les 2 et 3 - sous groupe de Sylow et j'obtiens qu'il y a:
- le nombre de 3-sous groupes de Sylow est 1 ou 4 car et
- le nombre de 2-sous groupes de Sylow est 1 ou 3 car et

Donc s'il y a un seul 2-sous-groupe de Sylow ou un seul 3-sous-groupe de Sylow noté alors j'ai montré que est distingué. Et comme , est résoluble par hypothèse de récurrence. De même , donc est résoluble. Donc est à ce moment là résoluble.

Le problème se pose lorsque j'ai et . Je ne vois pas bien comment procéder.

Merci d'avance pour votre aide.
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[inviteb3412e7c]

Bon, je viens d'avoir une aide.

Il suffit de remarquer qu'il y a une sous-groupe d'indice 3 donc l'existance d'un morphisme de dans avec et comme alors n'est pas trivial avec donc est résoluble.