Résolubilité Groupe de Galois

[Jokmail]

Bonjour à tous!

Je cherche à savoir à partir de quel le polynôme donné par :

l'équation n'est plus résoluble par radicaux. Soit l'ensemble des racines de . On note et . On sait que tout les éléments de sont réels et appartiennent à . De plus on a :
.
J'en déduit que
et :
où j'ai ordonné les racines telles que .
Est-ce correcte (je débute en théorie des corps/Galois)? Peut-on en dire plus sur les éléments de ?
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[Jokmail]

Désolé, il y a une erreur pour la borne supérieure de l'ordre du groupe de Galois. Il faut remplacer par pour chaque cas.

[Jokmail]

Aucune idée ?

[Suite2]

Bonjour,

je pourrais peut-être t'aider, mais j'avoue que je ne me souviens plus exactement de la définition de résolubilité par radicaux. Je me souviens vaguement d'extension de corps radicales, puis de sous-groupes distingués non ?

S'agit-il de vérifier de A_n pour n plus grand que 5 est simple ? Auquel cas, je te propose de vérifier que le groupe de Galois est inclus dans A_n pour n assez grand, ce qui semble plus ou moins être le cas vu la relation non ?

ATTENTION : je ne lance que des pistes, il n'y a rien du tout de mathématiques dans ma réponse !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jokmail]

Bonjour, Merci de votre réponse.

En étudiant la signature de on trouve que . Donc le groupe de Galois n'est pas inclus dans le groupe alterné.