Bonjour à tous ,
Ma question est la suivante : comment déterminer de façon pratique le groupe de Galois d'un polynôme ?. Par exemple , quelle est la groupe de Galois de l'équation du cinquièmme degré x^5 + x - a =0 ou a est un nombre complexe, en effet on affirme que cette équation n'est pa resoluble par radicaux parceque son groupe de Galois est non resoluble mais comment détermine t'on ce groupe ?
Merci en avance pour votres reponses
Bonjour,
Tout d'abord, il n'est pas vrai que x^5 + x - a =0 n'est pas résoluble *pour tout* nombre a. (Il suffit de prendre ne serait-ce que a=0 et c'est résoluble par radicaux). Pour contre elle est irrésoluble pour *presque tout* a.
Trouver le groupe de Galois d'un polynôme n'est pas complètement évident, dès qu'on dépasse le degré 2 ou 3.
Une méthode heuristique pratique consiste à factoriser le polynôme modulo un nombre premier p. Si dans Z/pZ le polynôme a r facteurs de degrés d1, ..., dr, alors on en déduit que le groupe de Galois doit contenir une permutation qui se décompose en r cycles de longueurs d1, ..., dr.
En recommençant avec d'autres nombres premiers p, on en déduit que le groupe doit contenir tel et tel éléments et on peut deviner de quel groupe il s'agit.
Une méthode complète utilise la théorie des invariants. Si le polynôme a pour racines r1, ..., rn, et pour groupe de Galois G, alors il existe des expressions polynomiales en les racines, du type m1(r1,...,rn), m2(r1,...,rn),... , qui sont invariantes sous l'action de G. Elle dépendent seulement de G, et on sait les calculer. Ces invariants sont liés entre eux par des relations R(m1,m2,..)=0.
On sait détecter ces relations et montrer du coup que le groupe de Galois du polynôme est G.
Il doit aussi y avoir des histoires de polynômes résolvants pour déterminer le groupe de Galois, mais j'ai oublié comment ça marche...
Salut !
à cause d'un leger manque de précision, ta question n'as pas vraiment de sens :
"le groupe de galois d'un polynome" n'as de sens (et encore) que si on précise sur qu'elle corps on travail. et si tu prend "a un nombre complexe" tu sous entend que l'on travail sur C. et justement sur C le groupe de Galois de n'importe qu'elle polynome est {0}.
pour que ta question ai un sens, il faut dire que tu cherche un groupe de galois sur Q, et prendre a un rationel. et encore, ca va pas etre vrai pour tous rationel a... (typiquement, pour a=1,a=0 ou encore a=2 ca marche pas...)
pour la réponse... je pense que celle telchar dit tous... pour illustrer la première methode qu'il donne (qui en réalité, aboutie dans tous les cas à cause du th de Cebotarev, mais on ne sais l'implémenter informatiquement que pour des polynome de grée limité... la limite etant actuellement entre 30 et 40)je fais quand meme le calcule dans le cas a=3 histoir de donner un exemple.
donc Q=x^5+x-3
on suppose qu'on a sous la main un bon algoritme de factorisation de polynome dans les corps fini (Berlekamp par exemple) et qu'on la programé quelque part.
on trouve alors que Q est iréductible modulo 7. donc le groupe de galois contiens un cinq cycle.
et que si on factorise Q modulo 263 (NB : parfois il faut aller chercher loin :S ) on trouve qu'il a quatre facteur : un de degrée 2, et les trois autres de degré 1... donc le groupe de galois contiens une transposition
finalement, le groupe contiens un cinq cycle et une transposition : c'est donc S5 tous entier, qui n'est pas résoluble.
