convergence d'intégrales impropres

[invitec9750284]

Bonjour,

J'aimerais montrer que les intégrales impropres suivantes convergent... ou non.

Soient :






*Pour la première je dirais l'intégrande est une fonction impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à 0. Donc l'intégrale vaut 0.
Or en appliquant le test de convergence des intégrales impropres de 1ère espèce, je trouve : . On trouve bien une limite finie donc on en conclue que I converge.

*Pour la deuxième intégrale j'applique le même test de convergence :
.
Donc J converge aussi.

Est ce juste ?

Sinon peut-on calculer explicitement ces intégrales ?

Merci d'avance !
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Il faut faire attention avant de dire que l'intégrale d'une fonction impaire sur est nulle (il vaut mieux traiter la convergence d'abord). D'ailleurs tu ne l'as pas vérifiée en .

[invite593dcd95]

Bonjour,

Le problème ne vient pas en plus ou moins l'infini comme tu vois, girdav a raison, ton problème est en 0.

Avec la notion d'équivalence essaye de voir si ta fonction est négligeable devant un fonction que tu sais intégrable.

Par exemple une fonction en 1/t². Attention 1/t n'est pas intégrable au voisinage de 0.

[invitec9750284]

Bonjour et merci pour vos réponse !

J'aimerais montrer proprement la convergence de I.

Pour la convergence en plus ou moins l'infini, pas de problème, j'ai réussi à le montrer sur les intervalles et par exemple, en comparant avec une fonction convergente ().

Mais pour la convergence sur je bloque un peu :

La fonction n'est pas positive sur . Or les tests de convergence se font pour une fonction positive sur un intervalle. Du coup je ne vois pas comment faire pour cet intervalle.

Sur on peut faire le test du quotient avec et . En effet la limite du quotient en 0 est : , elle est finie et donc soit les intégrales convergent en même temps, soit elles divergent en même temps.
Or diverge. J'en conclue que notre intégrale I diverge sur .

Quelqu'un peut il me confirmer ou n'infirmer le raisonnement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite899aa2b3]

En fait on peut raisonner sur les équivalents car sur et donc l'intégrale se comporte comme qui diverge.

[invitec9750284]

Le souci c'est que je ne maitrise pas les équivalents et dans mon livre rien n'y fait référence... mais nous arrivons au même résultat, tant mieux !

Peux tu m'expliquer comment procéder sur l'intervalle [-1,0] ?

[invite899aa2b3]

En fait on peut se restreindre, par imparité, à étudier l'intégrale sur donc on peut d'ores et déjà conclure à la divergence de l'intégrale.

[invitec9750284]

Ok merci girdav !

C'est seulement si l'intégrale d'une fonction impaire converge sur que l'on pourra dire qu'elle est nulle sur .

Par ailleurs d'après le même raisonnement, on peut dire que toute intégrale diverge car elles sont équivalentes en 0 à , or pour cette dernière diverge. C'est correct ?

Aurais tu un lien qui explique la relation entre équivalents et convergence des intégrales généralisées?

[invite899aa2b3]

http://fr.calameo.com/read/0000469070378ab0722ed
Vers les pages 24-25 il y a un théorème sur les équivalents (enfin un peu déguisé mais il doit avoir les mêmes applications).

[invite593dcd95]

Par ailleurs d'après le même raisonnement, on peut dire que toute intégrale diverge car elles sont équivalentes en 0 à , or pour cette dernière diverge. C'est correct ?

Non ce n'est pas correct, 1/t² est intégrable au voisinage de 0, ton intégrale diverge pour n<1 et n=1, elle converge pour n superieur strictement a 1.

[invitec9750284]

Salut Tounbreak !

En fait on a :
Or, converge ssi . Dans notre cas, pour n=1,2,3... elle diverge.

[invite593dcd95]

Euh j'ai un gros doute d'un coup, mais je viens de vérifier, j'avais tord. J'ai inverser les deux propriétés.
Mea Culpa