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Ordre d'un certain groupe de Galois.



  1. #1
    Bleyblue

    Ordre d'un certain groupe de Galois.


    ------

    Bonjour,

    Je cherche l'ordre du groupe de Galois du polynôme .
    Il me suffit de donc de déterminer la dimension du corps de décomposition (ou corps factorisant, la terminologie diffère quelque peu en fonction des régions j'ai l'impression) sur les rationnels.

    Les racines du polynôme sont avec et et le corps factorisant est :



    donc on cherche :



    mais comment calculez-vous ça ?

    Je peux à la limite écrire :



    mais je ne sais calculer

    merci

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : Ordre d'un certain groupe de Galois.

    Salut !
    Ca revient à montrer que le polynome cyclotomique x^4+x^3+x^2+x+1 est iréductible sur Q(7^(1/5)). (ou à trouver comment il se factorise si il est pas iréductible, mais ca m'etonerai vraiment beaucoup que ca soit le cas...)

    si tu sais ce que sont les nombres p-adique, alors le plus simple est à mon avis de regarder ce qui ce passe sur Q_5(7^(1/5)) (comment ce comporte le polynome la dessus).

    sans ca je ne sais pas trop... on doit pouvoir trouver un argument en théorie de Galois mais il ne me vient pas à l'esprit dans l'immédiat...

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Ordre d'un certain groupe de Galois.

    Oui, je connais des critères d'irréductibilité sur le corps mais pour le reste ...

    Pourtant il doit y avoir un moyen en utilisant la théorie de galois car c'est un exercice du cours, et on n'y parle pas de réprésentation p-adique.

    merci

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