Vitesse de l'eau dans une rivière.

[Dlzlogic]

Bonjour,

Je me pose le problème théorique suivant :
Soit une rivière, on peut mesurer assez facilement la vitesse de l'eau au milieu de la rivière.
On suppose que l'on connait le débit de cette rivière, par exemple par des mesures à des points caractéristiques.
On appelle rayon hydraulique le rapport section/périmètre mouillé.
On suppose que la vitesse de l'eau le long du périmètre est nulle, ce qui est certainement vrai.
On sait que l'eau coule parce que une molécule d'eau trouve où tomber sous l'action de la gravité.
L'ensemble de l'eau coule parce que chaque molécule entraine sa voisine par frottement, et cela de façon uniforme puisque l'eau est homogène.

Le débit de la rivière est égal au produit de la section par la vitesse.
Je cherche à établir une relation algébrique entre tous ces éléments là. Dans mon esprit, c'est une question strictement mathématique et non pas physique. Je ne pense pas avoir oublié un point. Eventuellement, je peux détailler le point concernant la vitesse de l'eau le long du périmètre, ou tout autre point qui ne serait pas clair.

Merci d'avance.
-----

[invite23cdddab]

Bonne chance pour trouver une relation algébrique... La mécanique des fluides est un domaine complexe du point de vue mathématique

[invite51d17075]

Dans mon esprit, c'est une question strictement mathématique et non pas physique.
.

Ho que si !
tu dis par exemple que la vitesse est nulle au bord :! j'en doute fortement.
elle est certes inférieure à celle du centre, mais la vitesse au bord dépend de la nature des frottements et donc aussi de la nature du sol.
idem pour le fond.
ensuite, il y a certainement des variations liées aux topologies ( virages , pentes variables, rochers, turbulences ).
donc à modéliser "totalement" et en tout point local c'est plus que coton.

[invite51d17075]

sans "modèle" clair et précis de "rivière" , ce n'est pas modélisable au sens ou tu écris ton post.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Oui, je sais très bien que la mécanique des fluides est difficile. D'ailleurs mon cours n'évoque pas ce point.
Sur les fonds et sur les bords, voila ce qui se passe. Il y deux possibilités, soit le vitesse de l'eau est non nulle, alors c'est l'érosion qui va se faire sentir, or, c'est l'inverse qui se passe : les rivière en phase d'équilibre, c'est à dire hors évènement anormal, ont tendance à s'envaser, ceci n'est possible que si la vitesse de chute des éléments fins est supérieure à la vitesse de l'eau. Par exemple, dans un tuyau on va chercher à avoir de l'auto-curage, ce qui revient à provoquer un nettoyage automatique. Je me pose le problème pour une rivière, concernant les tuyaux, c'est un problème bien connu.

Concernant la topographie, le débit est constant sur un tronçon de rivière qui ne reçoit aucun apport extérieur. S'il y a des étranglement, alors la vitesse augmente. Dans un tronçon parfaitement régulier, c'est à dire de section constante la ligne d'eau est parallèle au lit de la rivière.

Je vais essayer de formaliser cela et je reviens. Je me pose la question uniquement sur le plan mathématique, cad géométrique, la théorie (Th de Bernoulli) j'ai tout ce qu'il faut.

[invite51d17075]

de fait, il est très peu clair sur ce que tu veux "in finé" modéliser.
au passage, ton post précédent fait bien référence à de nombreuses considérations physiques.
Et s'il s'agit d'appliquer bernouilli, tout simplement, y'a pas de quoi en faire un sujet de fil.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
A l'évidence j'ai eu tort de préciser le contexte, donc je formule ma question autrement.

Soit un flux uniforme, constant et homogène constitués d'élément très petits. A la différence des grains de sable, ils sont animés du mouvement Brownien, c'est à dire qu'ils réagissent les uns par rapport aux autres par le simple fait de leur proximité immédiate : le frottement.
Le flux est animé d'un déplacement considéré comme constant et régulier dans l'espace étudié.
La section verticale de ce flux est constitué d'une part par une courbe de forme inconnue que l'on assimilera à un arc de cercle en partie inférieure que l'on appellera "périmètre mouillé", la partie supérieure est un segment de droite horizontal.
On mesure la vitesse instantanée d'un élément pris au milieu du segment horizontal. La vitesse des éléments immédiatement proches du périmètre mouillé est considérée comme nulle.
On admet que la vitesse de chaque élément et dû à l'entrainement de ses éléments voisins.
Partant d'un élément immédiatement proche du périmètre mouillé, vers l'élément central, la vitesse de chacun d'eux est directement fonction de ses voisins immédiats.
On connait la vitesse moyenne du flux et la vitesse moyenne de l'élément central, comment déterminer la forme de la section du flux, c'est à dire le rapport section/périmètre mouillé.

[invite23cdddab]

On pose puis on résout une belle équation aux dérivées partielles...

[Dlzlogic]

Bonjour Tryss,
Oui, je suis bien d'accord, mais c'est ça que je ne sais pas (plus) faire.
Mon seul recours serait de faire une simulation et de faire travailler ma machine. D'ailleurs pourquoi pas ? Ca pourrait valoir vérification avant d'aller m'amuser avec un bouchon du l'Escaut.

[albanxiii]

On sait que l'eau coule parce que une molécule d'eau trouve où tomber sous l'action de la gravité.

Les molécules du dessous sont tout aussi soumises à la gravité, vous pensez quelles vont se pousser ?
J'avoue ne pas comprendre la situation décrite.

Si vous ne l'avez pas déjà fait, essayez de comprendre la notion de couche limite.

@+

[Dlzlogic]

Bonjour AlbanXIII,
Soit un tronçon de rivière, de tuyau, de canal, l'altitude de l'eau en amont est plus élevée que l'altitude en aval.
A un instant donné, toutes les molécules d'eau sont en équilibre, puisqu'elles sont soumises à la même pression et à la même gravité, sauf les molécules qui se trouvent à la surface, puisque, de part la pente de la ligne d'eau (la ligne piézométrique), chacune trouvera une place pour tomber. C'est la vitesse apparente en surface. Pour mémoire, on néglige la différence de gravité entre le point haut et de point bas du tronçon.
En tombant, la molécule va laisser une place, ce qui fait que sa copine pourra y tomber à son tour.
Durant cette opération, de part les frottements, les molécules immédiatement proches vont "suivre le mouvement".
Dans les calculs de débit, on s'intéresse à la lame d'eau, c'est à dire à la section verticale mouillée.
En fait, il y a très peu d'intérêt à étudier les vitesses suivant leur position, c'est juste un problème théorique que je me pose.
Il y a à noter que dans le cas d'un canal, le débit est faible, donc, la vitesse est très faible, alors d'autres phénomènes parfaitement parasites interviennent, au point de pouvoir observer des courants de l'aval vers l'amont.
Cette variation de vitesse s'observe sur les glaciers, cette observation demande beaucoup plus de temps mais le phénomène est exactement le même.
Pour bien comprendre le phénomène, il faut s'imaginer la ligne piézométrique. Cette ligne démarre de l'aval, c'est à dire du point de rejet. Tant qu'il n'y a pas d'accident, type chute, le profil en long de la ligne piézométrique est celui de la ligne d'eau de la rivière. Si le lit de la rivière est parfaitement homogène sur le tronçon, il sera lui-même parallèle à la ligne piézométrique. C'est exactement ce qui se passe dans un tuyau s'il n'est pas en charge, c'est à dire en "écoulement libre".

L'étude des tuyaux en charge est très intéressante. En cas de forte pluie, on peut voir des plaques d'égout en fonte se soulever. C'est la raison pour laquelle, on prévoit normalement des plaques verrouillables, encore faut-il penser à les verrouiller. J'ai des photos, si ça vous intéresse.

[invite51d17075]

bjr,
il y a qcq liens sur l'écoulement dans les tuyaux par exemple.

[Dlzlogic]

Bonjour ansset,
Concernant l'écoulement dans les tuyaux, si tu veux des infos, tu peux consulter mon site.
Et si le problème t'intéresse, tu peux faire des simulations avec toute sorte de tuyaux.
Le problème que je me pose concerne les rivières.

[invite51d17075]

Bonjour ansset,
Concernant l'écoulement dans les tuyaux, si tu veux des infos, tu peux consulter mon site.
Et si le problème t'intéresse, tu peux faire des simulations avec toute sorte de tuyaux.
Le problème que je me pose concerne les rivières.

merci, mais ce n'est pas un sujet qui m'interroge ( c'est ton fil, pas le mien ).
Et je connais déjà le cas des tuyaux ( pas besoin de site perso pour ça )
d'ailleurs, je me demande si on ne peut pas considérer ton modèle de rivière comme un demi cylindre s'écoulant.
donc proche d'un cas "tuyau" ( avec ou sans bernouilli en plus.)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ma question concerne le rapport de la vitesse "moyenne", c'est à dire rapport du débit par la section, et de la vitesse apparente que l'on peut mesurer facilement à l'aide d'un petit flotteur.

Le problème de l'écoulement de l'eau dans des tuyaux, en charge ou pas, dans des fossés, dans des caniveaux, dans des canaux, dans des rivières etc. est bien connu. Il n'a rien à voir avec le problème que je me pose.

Petite anecdote à propos de l'orthographe de B.
Dans mon cours de topométrie, JJ Levallois l'a écrit avec deux 'i' comme MM. Bouvart et Ratinet. On m'a dit "Mais non, ils n'y connaissent rien, la preuve, il suffit de consulter Wiki". Dans mon cours d'hydraulique, René Urien, la dactylo a tapé BERNOUILLI et cela a été corrigé en BERNOULLI (correction très nette puisqu'elle est faite sur un stencil, mode de reproduction habituel à l'époque.) Donc j'ai longtemps cru que ces deux noms correspondaient à deux familles différentes.

[invite51d17075]

Bonjour,
Ma question concerne le rapport de la vitesse "moyenne", c'est à dire rapport du débit par la section, et de la vitesse apparente que l'on peut mesurer facilement à l'aide d'un petit flotteur.
.

c'est différent de ce que j'avais cru lire au début ( et de très loin ).

[Dlzlogic]

Bonjour ansset,
J'ai toujours un peu de mal à trouver les termes et les expressions qui me permettent d'être sûr d'être compris, et pourtant je fais très attention.

Après relecture, je me suis aperçu que mon cours faisait référence à ce sujet, mais dans le cadre strict d'un canal, c'est à dire de l'eau pure, donc sans éléments fins et aux parois lisses. Dans ce cas, "le point de vitesse maximale se trouve à peu près dans l'axe du canal, mais en-dessous de la surface libre. On admet parfois : U = 0.80 Vm ; W = 0.60 V ; avec U : vitesse moyenne dans la section ; Vm : vitesse maximale ; W : vitesse de fond. "
Evidemment, dans le cas d'une rivière, comme je l'ai dit, on peut prendre comme hypothèse que la vitesse le long de parois (bord et fond) est nulle, puisque le lit de la rivière est fixe et constant (enfin presque) et que donc, il n'y a ni envasement, ni érosion.

D'autre part, j'ai cherché sur le NET s'il n'y avait pas d'autre référence. J'ai trouvé un cours et, oh surprise, il est écrit dans la même présentation que mon cours (1968), c'est à dire qu'il s'agit d'un pdf résultant d'un scan. https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00851808/document
J'avoue être un peu étonné qu'il n'y ait pas de cours plus moderne.

Indice supplémentaire : le rivière à laquelle je fais allusion, l'Escaut, est pourvue de vannes, restes d'un ancien moulin. Sur les quelques dizaines de mètres précédant ces vannes le lit est beaucoup plus large, le débit est naturellement toujours le même, donc, la vitesse est beaucoup plus faible, et là la sédimentation est très active. Bref, c'est un phénomène visible.