[Dérivation] Déterminer les réels a, b, c, d d'une fonction et pente maximal

[invite41eb463b]

Bonjour, bonsoir,
J'ai un DM à faire pour la rentrée, et je comprend absolument pas comment résoudre deux questions.

La courbe doit passer par les points A et B de coordonnées (0;0) (4;1)
les tangentes à la courbe en ces points doivent être horizontales.

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0;4]. On note f' sa dérivée.

1)a) Traduire les contraintes que doit respecter la courbe d à l'aide de f'
J'ai mit:
f(0)= 0
f(4)=1
f'(0)=0
f'(4)=0

b) Déterminer les réels a, b, c, d tels que la courbe de la fonction f définie sur [0;4] par f(x)=ax^3+bx²+cx+d respectent ces contraintes.

c) Déterminer la pente maximale de Cf

Si quelqu'un pouvait m'aider pour la question b et c, je ne comprends pas du tout comment trouver.
Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonsoir.

Comme maintenant tu connais f (à l'aide de a, b, c et d), tu peux écrire autrement tes 4 égalités, puis tu en déduiras a, b, c et d. Évident, non ??

Cordialement.

[invite41eb463b]

j'ai trouvé ça:
f(0)=d }=0
f(4)=64a+16b+4c+d }=1
f'(0)=c }=0
f'(4)=48a+8b+c }=0

Si c'est juste, on a déjà le d.
Mais je vois pas comment je peux trouver les autres.
Quelqu'un pourrait m'aider, ou m'aiguiller sur la méthode à suivre (avec un autre exemple par exemple)
Merci

[gg0]

Regarde un peu mieux ton système. Par une substitution évidente, on a un système de deux équations avec 2 variables.
NB : Je suis très étonné par ton manque de participation personnelle à la résolution de ton exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite41eb463b]

Je sais pas si c'est les vacances, mais mon cerveau ne réagit plus très bien aux maths, pourtant je suis plutôt bon en maths.

[invite41eb463b]

d=0
64a+16b+4c+d=1
c=0
48a+8b+c=0

comme c et d=0

64a+16b=1
48a+8b=0 -->(x2)

64a+16b=1
96a+16b=0

64a+16b-(96a+16b)=1-0
-32a=1
a=-0.03125


16b=1-64a
16b=1-64*(-0.03125)
16b=3
b=0.1875

le problème, c'est que le a est négatif, et que a, b, c, d doivent être dans l'intervalle [0;4].
Du coup je comprends plus rien là.

[invite51d17075]

le problème, c'est que le a est négatif, et que a, b, c, d doivent être dans l'intervalle [0;4].

bjr,
c'est ta fonction qui est définie sur [0;4] , rien ne précise que tes paramêtres doivent appartenir à cet intervalle. ( cela n'a rien à voir )
ps : pas vérifié tes calculs.
Cdt

[invite51d17075]

ils sont OK !

[invite41eb463b]

Ah ok, merci à toi.
Par contre quelqu'un pourrait m'expliquer un peu comment trouver la pente maximal, car on n'a jamais fait ça encore.
Merci

[invite51d17075]

re-
la pente est maximale quand la dérivée est maximale. ( ici elle est tj positive. )
tu dois donc faire une analyse des variation de la dérivée de ta fonction sur ton intervalle [0,4]

[invite41eb463b]

message supprimé.

[invite51d17075]

cela revient au même, mais il est inutile de passer par les équations de tangentes.
il te suffit d'étudier les variations de f' , tout comme tu peux le faire pour une autre fonction g !

[invite41eb463b]

j'avais écrit mon message avant celui de gg0.
Du coup, je pars faire mon petit tableau de variation.

[invite41eb463b]

Enfaîte, j'ai juste à trouver l'extremum (donc ici le maximum) de f'(x), donc je peux juste utiliser alpha et beta ? Surtout que après, je dois trouver les coordonnées du point ou le maximum est atteint.
Du coup la pente est maximal au point x=2.

[invite51d17075]

je ne sais pas ce que tu entends pas alpha et béta.
et oui c'est un extremum que l'on cherche mais il faut que ce soit un maximum de f'(x)
c-a-d f" (x)>0 si x <2 ; f"(2)=0 et f"(x) <0 si x>2 ...
mais c'est la bonne réponse.

[invite41eb463b]

Alpha et Béta, c'est avec la forme canonique a(x-alpha)²+béta.
Et (alpha;béta) sont les coordonnées de l'extremum.

[invite51d17075]

OK, c'est mieux en le disant.
mais pourquoi serait ce un maximum et non un minimum ?
je veux dire qu'il faut le justifier.

[invite41eb463b]

f(x)=-0.03125x^3+0.1875x^2
f'(x)=-0.09375x^2+0.375x

alpha=-b/2a=-0.375/2*-0.09375=2

f'(2)=-0.09375*2^2+0.375*2=0.375

donc la pente maximal (coefficient directeur de la tangente avec la pente maximal) est 0.375.

C'est bien ça ?

[invite41eb463b]

mais pourquoi serait ce un maximum et non un minimum ?
je veux dire qu'il faut le justifier.
parce que le a est strictement négatif (-0.09375)

[invite51d17075]

pourquoi pas, mais il me semble qu'il y a plus naturel ( tu n'auras pas tj des polynômes à étudier )
f(x)=-(1/32)x^3+(3/16)x^2 donc
f'(x)=-(3/32)x^2+(6/16)x
f"(x)=-(6/32)x+(6/16)
donc s'annule en x=2 et est
positive si x<2 et négative si x>2
donc f' croissante de 0 à 2 et décroissante de 2 à 4.
2 est un maximum pour la dérivée ( plus grande pente )

ps: il vaut mieux garder les fractions dans tous les cas, c'est plus propre

[invite41eb463b]

Oui, c'es vrai, mais dans ma tête s'était un peu le bazars, donc j'ai fais avec la première méthode qui venait.
En tout cas merci de ton aide, ça ma "décoincé le cerveau", et je comprends enfin comment résoudre les questions suivantes.