Exercice d'analyse - Niveau Maths SPE

[invite6a1faf37]

Bonjour,

Je bloque depuis un petit moment sur cet exercice.
Je vous donne l'énoncé et les idées de résolution que j'ai trouvées. Si quelqu'un peut me dépanner, ça serait avec grand plaisir.

Soit (x_k) une suite de réels positifs vérifiant x_k+1<x_k+1/k² et ce pour tout k entier naturel non nul.
Montrer que la suite (x_k) converge.

Si la suite (x_k) est croissante, le résultat est très facile à obtenir avec l'utilisation des séries (on a x_k+1-x_k<1/k² et donc c'est fini, on a (x_k) convergente).
Si la suite (x_k) n'est pas croissante, je n'ai pas vraiment d'idée, pourtant si je fais un dessin je vois bien que le résultat a tout l'air d'être vrai (heureusement d'ailleurs...) mais je ne vois pas du tout comment le formaliser;

merci
Bonne soirée !

NB : Toutes les inégalités strictes sont en fait larges mais je ne trouve pas le symbole adéquat. Mes excuses.
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[Tryss2]

Idée : montrer que la suite x_n est une suite de Cauchy

[invite6a1faf37]

Bonjour,
merci pour la réponse rapide

Je n'ai pas encore vu les suites de Cauchy mais d'après ce que j'ai trouvé sur internet, la démarche à suivre serait la suivante :
montrer que c'est une suite de Cauchy puis utiliser le "critère de Cauchy" me permettant de conclure que (x_k) est convergente.

Mais comme je n'ai pas vu ces notions, ne pensez-vous pas qu'il y a un autre de moyen de résoudre l'exercice ?

[Tryss2]

Je ne pense pas qu'il soit possible de faire autrement que de passer par les suites de Cauchy... mais je peux me tromper.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a1faf37]

Il est dans le chapitre "Séries numériques" si ça peut aider ...

[slivoc]

Bonjour,

On peut montrer que (Xn) est bornée, donc en extraire une sous suite convergente...

Bonne chance !

[ansset]

bonjour,
je pense qu'on peut écrire
avec
d'où

les deux dernières sommes convergent.

[invite6a1faf37]

bonjour,
je pense qu'on peut écrire
avec

Bonjour,
Pourquoi peut-on écrire cette égalité ? Désolé si la question paraît bête mais rien dans l'énoncé me parait justifier une telle égalité ?

Bonjour,

On peut montrer que (Xn) est bornée, donc en extraire une sous suite convergente...

Bonne chance !

Je réussis à montrer que (Xn) est bornée par x₁ + pi²/6 (majorant) et 0 (minorant)
Puis avec le théorème de Bolzeino-Weirstrass on peut en extraire une sous suite convergente. Toutefois, je reste bloquée à cette endroit.

[Tryss2]

Tu appelles l la limite de la sous suite, puis tu montres que c'est bien la limite de la suite entière.

Pourquoi peut-on écrire cette égalité ?

On ne peux pas. Ça impliquerai que la suite x_k est croissante

[ansset]

Bonjour,
Pourquoi peut-on écrire cette égalité ? Désolé si la question paraît bête mais rien dans l'énoncé me parait justifier une telle égalité ?
.

non, erreur dans l'encadrement des eps , car il présuppose que xk est croissante.
désolé.

[invite6a1faf37]

Tu appelles l la limite de la sous suite, puis tu montres que c'est bien la limite de la suite entière.

La seule chose que j'arrive à extraire c'est :
Il existe un rang n₀ tel que pour tout n>n₀, x_n€[0,l+e] et ce pour tout e>0 (si on change le e ça change le n₀). Mais le problème c'est qu'il y a des points qui peuvent être proches de 0 que j'arrive pas à éliminer.

Merci à tous pour les réponses.

[invite6a1faf37]

Une idée serait de dire que si xn s'éloigne trop de l vers 0, alors pour tous les termes d'après, on sera éloigné de l et donc c'est absurde car la sous-suite converge. Est-ce une bonne idée ?

[Tryss2]

Indice : Si on note la suite extraite, alors

[invite6a1faf37]

Inégalité triangulaire puis les deux termes sont plus petits que e/2 APCR et ce pour tout e>0 ce qui montre que xn est convergente ?

Merci beaucoup !!!

[slivoc]

Pour le terme de gauche quand tu développes l' inégalité triangulaire, tu peux le majorer par le reste de la somme des 1/k² qui est une série convergente, donc qui converge vers 0.

En fait, cette façon de faire l' exercice est très proche de la preuve de :" toute suite de Cauchy de réel est convergente dans R ".