Bonsoir.Je ne parviens pas à traiter la question 1- de ce problème :
Soit E et F deux ensembles non vides tels qu'il existe une injection f de E dans F et une injection g de F dans E . On note h=gof et k=fog . On définit une relation R dans E et une relation S dans F par :
Quelques a , x € E a R x<=> il existe n€|N , a=h^n(x) ou x=h^n(a)
Quelque b,y € F b S y <=> il existe n € |N , b=k^n(y) ou y=k^n(b)
1-)Demontrer , pour tout n € |N, que h^n et k^n sont injectives , que foh^n=h^nof et que gok^n = h^nog.
2-)Demontrer que : Quelque (a,x) € E² , (a R x<=> f(a) S f(x))
Quelque (b , y ) € F² , (b S y <=> g(b) R (y) )
3-)Montrer que R est une relation d'équivalence dans E.
Pour tout a de E , on note a barre la classe d'équivalence de a.
.) Montrer :Quelque soit ā € E, h(ā) C ā
4-)Montrer que S est une relation d'équivalence dans F Pour tout b de F , on note b~ la classe d'équivalence de b.
-)Montrer que si b € F , k (b~) C b et que si a €E , g(f(a)~) C ā
5-)Montrer que E/R et F/S sont en bijection
6-) -)On suppose que h/ā est surjective sur ā
-)Démontrer que permet de définir une bijection entre de f(a)~ et ā
7-)On suppose que h/ā est non surjective
a-)Démontrer que qu'il existe un u unique dans ā tel que ā ne soit pas dans h(E)
-) Démontre que :
ā =ū={x € E / il existe n € |N x = h^n(u)}
b)Démontrer que
- ou bien f(ā)={y € F/ il existe n € |N y= h^ n (f(ā))}
- ou bien il existe un élément b unique de F tel que :
f(u) = k ( b ) et f(a)~={y € F/ il existe n €|N y=k^n (b)}
c-) Montrer que ā et f(a)~ sont en bijection
Démontrer que E et F sont en bijection
9-) Qu'avez-vous démontré?
-----
de ce problème :