Bonjour,
je m'intéresse, a travers une simulation que j'ai développé, au transport d'un vecteur sur une surface sphérique. En tenant compte de l'équation des géodésiques, j'arrive à exprimer les variations des composantes du vecteur dans la base locale tangente :
Expression générale :
d'où les 2 équations :
avec les composantesqui sont les composantes contravariantes du vecteur transporté.
Dans mon programme, je calcule de manière géométrique les composantes de ce vecteur, j'ai donc un tableau de coordonnées qui contient ces 2 composantes v^{\theta} et v^{\varphi} le long du transport selon la géodésique.
Mon problème est que je n'arrive pas à vérifier les 2 équations ci-dessus (1) et (2) : je pars d'une valeur initiale des composantes du vecteur transporté (v^{\theta}_{0}, v^{\varphi}_{0}) et en fonction des angles \theta et \varphi courants, je calcule les termes de ces 2 équations (qui doivent être égales à 0) : comme résultat, j'obtiens des valeurs numériques entre -0.4 et + 0.4 pour l'équation (1) mais par contre j'ai un intervalle de valeurs beaucoup plus grand pour (2).
Concrètement, pour obtenir ces valeurs numériques, je fais dans mon programme pour l'équation (2) :
Est-ce la bonne méthode pour calculer la valeur numériques de ces 2 équations. Je dois préciser que les 2 équations (1) et (2) sont l'expression de la dérivée covariante du vecteur transporté qui est précisée au début du post :
J'essaie de faire le lien entre les équations (1) et (2) et les formes différentielles exactes que l'on rencontre en Physique car si c'est une différentielle totale exacte, je pourrais ne m'occuper que des états initiaux et finaux quand j'intègre. Cependant, l'équation (2) ne s'apparente pas à une différentielle totale exacte car il y a la présence simultanée des termeset
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De plus, je dois aussi préciser que je travaille avec des composantes contravariantes et des problèmes de normalisation pour le vecteur e_{\varphi} peuvent peut être fausser les résultats (avec un facteur 1/R pour e_{\theta} et 1/(R sin(\theta) pour e_{\varphi}).
Toute aide est la bienvenue
ps: les formules Latex sont des fois mal interprétées dans ce message, pourtant elles me semblent correctement écrites.
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