Produit de deux bijections

[V13]

Question ouverte :

Peut-on trouver deux bijections, et allant de dans telle que soit également une bijection allant de dans ?
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[invite23cdddab]

edit : betises

[invite332de63a]

Bonjour,

Je me restreint à pour plus de simplicité mais sans difficultés on peut prolonger à

une réponse négative:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=1/x sont bien des bijections, cependant fxg n'en est pas une.

une réponse positive:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=x^2 sont bien des bijections et fxg en est une également.

RoBeRTo

[gg0]

Bonjour.

"sans difficultés on peut prolonger à " ?? peux-tu expliciter ?

En tout cas, si f et g sont continues, donc monotones, ça paraît bien compromis.

Cordialement.

NB : Il y a tellement d'autres bijections qu'on peut penser que ça existe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

NB : Il y a tellement d'autres bijections qu'on peut penser que ça existe.

... quitte à mettre un petit coup d'axiome du choix.

[jacknicklaus]

Bonjour,

Je me restreint à pour plus de simplicité mais sans difficultés on peut prolonger à

Non, car c'est là qu'est l'os.

F et G sont bijectives (EDIT: + continues) sur R donc monotones. Supposons croissantes sans perte de généralité . F(0)G(0) existe et est borné.
montrer qu'il existe un x1 < 0 tel que F(x1)G(x1) > F(0)G(0)
montrer qu'il existe un x2 > 0 tel que F(x2)G(x2) > F(0)G(0)
conclure.

[Médiat]

F et G sont bijectives sur R donc monotones

Complètement faux

[V13]

Bonjour,

Je me restreint à pour plus de simplicité mais sans difficultés on peut prolonger à

une réponse négative:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=1/x sont bien des bijections, cependant fxg n'en est pas une.

une réponse positive:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=x^2 sont bien des bijections et fxg en est une également.

RoBeRTo

La fonction carrée n'est pas bijective sur R justement.

[invite332de63a]

Bonjour,

je vais reprendre alors mes idées en me plaçant sur cette fois-ci.

une réponse négative:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=1/x pour et g(0)=0 sont bien des bijections, cependant fxg n'en est pas une.

Pour la réponse positive, au moyen d'une bijection de sur c'est peut-être possible...

J'y réfléchis plus tard.

[V13]

Bonjour,

je vais reprendre alors mes idées en me plaçant sur cette fois-ci.

une réponse négative:

les fonctions f et g définies sur par f(x)=x et g(x)=1/x pour et g(0)=0 sont bien des bijections, cependant fxg n'en est pas une.

Pour la réponse positive, au moyen d'une bijection de sur c'est peut-être possible...

J'y réfléchis plus tard.

La question porte bien sur l'existence de fonctions toutes allant de dans

[V13]

Pour ceux que ça intéresse la question est vraiment non résolue

[Resartus]

Bonjour,
Voici (mais il faut être anglophone), une construction qui répond à la question :

http://math.stackexchange.com/questi...-also-a-biject

La partie la plus subtile de la démonstration est de construire une bijection entre Z2xZ et Z2x2Z