Suite de Stern

[max888]

Bonjour,
J'ai un exercice sur la suite de Stern et j'ai juste une question sur une récurrence. Je pense que ça ne doit pas être très compliqué mais je tourne en rond et je ne vois pas la solution.

On a la suite un définie sur N par u₀=1 et par u_2n+1=_un et u_2n+2=u_n+u_n+1.
Le but est de montrer que pour tout n de N, u_n∈N*.
Je cherche à montrer par récurrence sur N : u_2n+1∈N* et u_2n+2∈N*.

Pour n=0, on a bien u₁∈N* et u₂∈N*.
On pose n∈N tel que u_2n+1∈N* et u_2n+2∈N*.
u_2(n+1)+1=u_n+1=u_n+1+u_n-u_n=u_2n+2-u_2n+1 ∈ N*.

Par contre pour u_2(n+1)+2 je ne trouve pas et c'est ici que je bloque.

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Il faut utiliser une récurrence complète.
On prend pour hypothèse de récurrence : Pour tout indice positif . On initialise à n=0 Puis on démontre que pour tout indice positif , ce qui ne nécessite que de démontrer puisque c'est dans l'hypothèse pour les autres indices.
Vu la structure de la définition, on examinera deux cas, selon que n+1 est impair (commencer par ce cas) ou pair (donc au moins égal à 2, et on a déjà traité le cas de 1).

Cordialement.

[max888]

Merci beaucoup gg0 pour ta réponse.
C'est vrai que sous cette forme cela ne pose plus de problème mais j'avoue que je n'y avais pas pensé.
Bref maintenant tout est clair !
Merci encore et bonne soirée.

[gg0]

A savoir : Ce n'était pas évident pour moi, il m'a fallu y réfléchir à 2 fois.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]