Fonction de Moebius-inversion
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Fonction de Moebius-inversion



  1. #1
    jackgre

    Fonction de Moebius-inversion


    ------

    Bonjour,
    Voici mon problème:
    soient:
    D(n)= ensemble des diviseurs positifs de n
    En={k dans [0,n-1],pgcd(k,n)=1}
    u(n)= somme des ei2kpi/n pour k dans En (la fonction de Moebius)
    Montrer pour tout n superieur ou egale à 2 que la somme des u(d), d dans D(n) est egale a 0

    L'énonce me propose d'utiliser les resultats etablis dans le parties précedentes, a savoir que les parties précedentes portaient sur les polynomes cyclotomiques et les polynomes primitifs.
    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    jackgre

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    Je tiens à preciser que les propriétès de la fonction de moebius tels que u(n)=0 si n est divisible par le carré d'un nombre premier est a établir dans les questions suivantes

  3. #3
    jackgre

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    s'il vous plait ?

  4. #4
    invite02232301

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    Bonjour,
    Sais tu le montrer pour n nombre premier? Puissance d'un nombre premier?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite02232301

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    Oh, j'avais pas vu la dernire partie sur les polynomes cyclotomiques, alors tu peux t'aider de la formule que tu as certainement établi
    X^n-1=produit des \Phi_d pour d divisant n.

  7. #6
    jackgre

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    bonjour,
    merci de votre réponse.
    J'ai en effet établis cette formule et j'ai essayé de m'en servir mais je ne vois pas, j'imagine que la formule précédente couplée a la formule :
    PHI_d = produit des (X-exp(i2kpi/n)) pour k dans Fn,d ={k dans [0,n-1], pgcd(k,n)=n/d} où d est dans D(n)
    doit fournir un résultat.
    J'ai donc essayer d'évaluer en les racines primitives de n, mais je ne trouve pas .
    Merci
    Dernière modification par jackgre ; 08/02/2017 à 12h58.

  8. #7
    jackgre

    Re : Fonction de Moebius-inversion

    Je crois avoir compris !
    on a :
    X^n-1=produit des (x-exp(i2kpi/d) pour d divisant n et k dans Ed
    donc la somme des -exp(i2kpi/d) est égale au coefficient en n-1 de X^n -1, c'est a dire 0
    Merci

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