Bonjour,
Voici mon problème:
soient:
D(n)= ensemble des diviseurs positifs de n
En={k dans [0,n-1],pgcd(k,n)=1}
u(n)= somme des ei2kpi/n pour k dans En (la fonction de Moebius)
Montrer pour tout n superieur ou egale à 2 que la somme des u(d), d dans D(n) est egale a 0
L'énonce me propose d'utiliser les resultats etablis dans le parties précedentes, a savoir que les parties précedentes portaient sur les polynomes cyclotomiques et les polynomes primitifs.
Merci de votre aide
Je tiens à preciser que les propriétès de la fonction de moebius tels que u(n)=0 si n est divisible par le carré d'un nombre premier est a établir dans les questions suivantes
s'il vous plait ?
Bonjour,
Sais tu le montrer pour n nombre premier? Puissance d'un nombre premier?
Oh, j'avais pas vu la dernire partie sur les polynomes cyclotomiques, alors tu peux t'aider de la formule que tu as certainement établi
X^n-1=produit des \Phi_d pour d divisant n.
bonjour,
merci de votre réponse.
J'ai en effet établis cette formule et j'ai essayé de m'en servir mais je ne vois pas, j'imagine que la formule précédente couplée a la formule :
PHI_d = produit des (X-exp(i2kpi/n)) pour k dans Fn,d ={k dans [0,n-1], pgcd(k,n)=n/d} où d est dans D(n)
doit fournir un résultat.
J'ai donc essayer d'évaluer en les racines primitives de n, mais je ne trouve pas .
Merci
Je crois avoir compris !
on a :
X^n-1=produit des (x-exp(i2kpi/d) pour d divisant n et k dans Ed
donc la somme des -exp(i2kpi/d) est égale au coefficient en n-1 de X^n -1, c'est a dire 0
Merci
