Sous groupe normal

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je voudrais savoir pourquoi pour montrer qu'un sous groupe H est normal, càd que :



il suffit de montrer que

Pourquoi H serait automatiquement inclus dans tous les ?

Merci.
-----

[Médiat]

Bonsoir,

A quel ensemble appartient le g de la définition ?

[invite8f6d0dd4]

Soit G un groupe.

H est sous groupe normal de G si par définition :



On peut prouver que H est un sous groupe normal de G en montrant que :



Mais je ne comprends pas comment on peut se passer de l'inclusion inverse. Il n'est pas évident pour moi que

Merci

[Médiat]

J'ai essayé de vous mettre sur la piste, j'insiste un : "pour tous les éléments de G" donc en particulier pour g = ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Ah ok je n'avais pas compris la remarque.

Bah en prenant g=e (élément neutre), on a bien le côté H inclus dans gHg^(-1), mais il faut que l'inclusion soit vraie pour tous les g donc je comprends pas pourquoi prendre un g particulier suffit ?

[invite8f6d0dd4]

Ah non ok,

On dit : (la proposition est vraie pour tout g donc pour g^-1)

Donc

donc H est bien inclus dans gHg^-1 si gHg^-1 inclus dans H

[Médiat]

Quel plaisir de trouver tout seul, non ?

[invite8f6d0dd4]

En effet !

Merci beaucoup !