Algèbre résoluble : question sur la définition

[invite8f6d0dd4]

Bonjour,

Je suis un cours en théorie des groupes et on a noté une définition que je ne comprends pas.

Soient et deux algèbres de Lie.

On définit : , , ...,

Et du coup je suppose que c'est l'ensemble des éléments des avec .

Et on dit que est résoluble si

Très bien.

Et ensuite il y a cet exemple :



Et là je ne comprends pas du tout.

Déjà qu'est ce que c'est que la notation ? X et Y sont des éléments fixés d'une algèbre de Lie ?

Enfin je ne comprends pas du tout l'exemple en fait.

J'ai p-e mal recopié/compris la définition d'algèbre résoluble du coup c'est pour ça que je la ré écrit ici, histoire que vous puissiez confirmer si c'est bien ça.

Merci !
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[invite23cdddab]

A vue de nez (notation usuelle), c'est le groupe engendré par x, et c'est le groupe engendré par X et Y (reste à savoir si ce sont des éléments ou des groupes...)

Au vu de la suite, ce sont surement des éléments (sinon la notation <Y> n'aurait pas grand intérêt)


Donc, si on note G = <X,Y> , il faut montrer que [G,G] = <Y> (la suite est triviale), en sachant que [x,y] = y.

[invite8f6d0dd4]

Ah oui ok avec votre définition ça fait sens.

En l’occurrence comme ce sont des algèbres de Lie <X,Y> c'est l'e-v engendré par les vecteurs X et Y.

Et puis après calcul je trouve bien [G,G]=<Y> et [<Y>,<Y>]=0 car crochet de Lie antisymétrique.

Merci !