définition anneau (et corps, algèbre...)

[invite179e6258]

bonjour,

quelqu'un sait-il s'il y a une raison profonde au fait que la loi additive d'un anneau doit être commutative? ou bien c'est juste que c'est le cas dans les exemples connus? (alors que les pour algèbres de matrices par exemple la multiplication n'est pas commutative)

ou en d'autres termes, quels résultats perd-on en oubliant la commutativité dans la définition d'un anneau?
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[invite57a1e779]

Bonjour,

La distributivité bilatère impose, pour tout quadruplet d'éléments d'un anneau :



et :



donc :



C'est-à-dire qu'il y a commutativité de l'addition pour les produits de deux éléments de .

Lorsque l'anneau est unitaire, le cas particulier fournit la commutativité de l'addition.

On pourrait imaginer des structures satisfaisant les axiomes d'anneau sauf la commutativité de l'addition, et pour lesquelles il existerait des éléments et , qui ne peuvent s'exprimer comme produit d'autres éléments et tels que , mais je n'en ai jamais vues.

[invite179e6258]

ah oui, bien vu! j'avais l'impression que c'était un choix arbitraire mais pas du tout.