Famille de polynome échelonnée

[invite03ef28af]

Bonjour,
voici mon problème :
́etant donnee un entier n ∈ N, on dit qu’une famille de polynomes (Pk)0<=k<=n de K[X] est échelonnée en degrée de 0 a n si pour tout k ∈ ]0,n[, d ̊Pk = k.

1. Montrer que pour tout n ∈ N, pour toute famille (Pk)0<=k<=n de polynomes de K[X] echelonnée en degré de 0 a n, tout polynome Q ∈ Kn[X] s’écrit de maniere unique sous la forme Q = somme des a_k*P_k de 0 a n

Je comprends intuitivement l'existence de cette decomposition cependant je ne vois pas comment la demontrée. Je n'ai pas encore réflechit à l'unicité mais je pense essayer un schémas classique en supposant qu'il en existe 2 et montrer qu'ils coincident en n+1 points.
Auriez vous des pistes a me donner s'il vous plait.
Merci
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[invite23cdddab]

Tu peux le faire d'un point de vue purement algébrique :

Il s'agit alors de montrer que ta famille forme une base de Kn[X]

Tu peux par exemple montrer que cette famille est génératrice, et de même cardinal que la dimension de Kn[X] (une idée parmi tant d'autres)


Tu peux aussi le faire par réccurence : il est facile de montrer qu'un polynôme de degré 0 s'écrit de façon unique comme cela, et si tu as l'existence et l'unicité pour les polynômes de degré m, tu l'as sans trop de difficultés pour ceux de degré m+1

[invite03ef28af]

Merci pour votre réponse,
cependant ma recurrence me semble un peu trop trivial :
car un fois admis que pour tout Q dans Kn[X] s'ecrit sous la forme de la somme voulue,
tout R dans Kn+1[X] peut s'ecrire R= Q + a_n+1P_n+1
et voila finie la recurrence .
Ou alors je me trompe dan le raisonnement ?
Merci

[gg0]

Bonsoir.

Pourquoi une récurrence serait-elle compliquée ? Il faudra cependant bien prouver que dans l'écriture R= Q + a_n+1P_n+1 on peut choisir a_n+1 pour que Q soit dans Kn[X] et finir la preuve.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]