Distribution des nombres premiers avec n.ln(n)

[Meiosis]

Bonjour,

En analysant un peu la distribution des nombres premiers j'ai trouvé quelque chose d'intéressant mais dont je ne suis pas certain (car je ne l'ai pas démontré).

Soit p(n) le n-ième nombre premier, pour tout n > 2 on a p(n) = (n.ln(n))k avec 1 < k < 2 (k variant avec n).
De plus k semble tendre vers 1 quand n tend vers l'infini. k décroît très rapidement pour les petites valeurs de n et décroît ensuite plus lentement.

Autrement dit, on ne multiplierait jamais par plus de 2 n.ln(n) pour avoir le nième nombre premier correspondant. Et quand on tend vers l'infini on ne multiplierait que par 1 et des poussières. Il faudrait donc idéalement connaître k pour avoir le nième nombre premier.

Je me suis aperçu que pour un intervalle donné de n, par exemple n appartient à [1000;2000], on a des valeurs de k très proches. Donc même si on ne peut pas déduire k pour n+1 (en connaissant le k associé à n) si on prend le k associé à n on sera très proche du nième nombre premier.

J'aimerais savoir si ces résultats existent (et s'ils n'existent pas, ça a l'air correct ?) et si oui comment démontrer ce que j'avance ?

PS : je suis dans la bio mais je m'intéresse un peu aux maths, soyez indulgents si j'avance de grosses bêtises.

Merci à vous.
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[invite23cdddab]

Oui, le n-ième nombre premier est effectivement équivalent à n.ln(n), c'est le fameux théorème des nombres premiers :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...mbres_premiers

Je ne crois pas qu'il existe de démonstration simple de ce résultat (mais ça n'est pas mon domaine).

[Meiosis]

Oui, le n-ième nombre premier est effectivement équivalent à n.ln(n), c'est le fameux théorème des nombres premiers :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...mbres_premiers

Je ne crois pas qu'il existe de démonstration simple de ce résultat (mais ça n'est pas mon domaine).

Merci pour ta réponse.

C'est plutôt le paramètre k en plus avec 1 < k < 2 qui m'intéresse. Est-ce que ça existe déjà ou bien seul n.ln(n) est connu ?

Après si n tend vers l'infini effectivement p(n) se réduit à n.ln(n) même si ce n'est pas exact car k ne vaudra jamais 1 précisément.

[Meiosis]

Si je pose ce topic ce n'est pas pour rien je vous explique.

Je pense avoir trouvé un moyen d'obtenir le nombre premier suivant si je connais l'actuel, ça fait des erreurs pour n petit mais plus n est grand et paradoxalement mieux ça semble marcher (sans trop m'avancer je reste prudent).

Par exemple sur wikipedia anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem (paragraphe approximations for the nth prime number)

Ils prennent l'exemple de n=2x10^17, le nombre premier correspondant est 8512677386048191063 et la meilleure approximation semble donner 8512681315554715386 d'après wikipedia.

En connaissant le nombre premier n=(2x10^17)-1 (qui est 8512677386048191019) j'arrive à trouver 8512677386048191062,6 (0,4 d'erreur...).

J'ai essayé avec n=(2x10^17)+1, je connais donc 8512677386048191063 et j'arrive à trouver 8512677386048191107 au lieu de 8512677386048191067, soit une erreur de seulement 40.

J'ai des taux d'erreur très bas voire je tombe carrément sur le bon nombre.

Avec n=10^6 j'ai une erreur de 10 seulement. Mais l'erreur augmente pour des plus petites valeurs de n (genre n=2000 etc).

Je voulais donc savoir si c'était normal. Puisque ça a l'air intéressant d'avoir le nombre premier qui suit juste en ayant l'actuel.

Ah et je précise que j'ai fait les calculs sous wolframalpha car sinon à la calculatrice ça ne passe pas, de même que j'utilise ce site pour avoir les nombres premiers entourant un certain nombre premier d'intérêt : http://www.numberempire.com/primenumbers.php

[A voir en vidéo sur Futura]