Relation entre nombres premiers et diviseurs premiers d'un schéma.

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

J'ouvre ce fil pour demander votre aide sur un problème qui m’intéresse énormément. Je m'explique en toute brièveté :
Je cherche à trouver :
- Une analogie fonctorielle qui existe entre l'ensemble des nombres premiers et les diviseurs premiers d'un schéma ( projectif, noethérien et intégral pour que ça colle avec le cas qui m’intéresse ).
- Le dual de qui soit l'analogue au dual de l'ensemble des diviseurs premiers du schéma considéré.
- L'analogue de l'integrale , par rapport à une mesure à déterminer, lorsqu'il s'agit de passer de l'ensemble des diviseurs premiers du schémas à l'ensemble des nombres premiers. ( est un diviseur premier, et son dual dans je ne sais quel espace )

Voilà, c'est tout ce que j'ai comme questions pour le moment sur ce sujet. J'espère que je trouverai la réponse chez vous, car j'en ai vraiment besoin.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite5357f325]

Bonjour,

Il y a aucun lien !

Un diviseur premier c'est une sous-variété irréductible, fermée de codimension 1 (par exemple, si ton schéma est une courbe, un diviseur premier est un point). Ensuite, un diviseur de Weil c'est une somme formelle de diviseurs premiers (un peu comme en homologie : un cycle est une somme formelle de simplexes). Ensuite il y a les diviseurs de Cartier (qui sont plus généraux). De quel type diviseur parle tu ??

Si tu veux vraiment un exemple qui mélange diviseurs premiers et nombres premiers, comme les points de Spec(Z) c'est les nombres premiers, voilà ton analogie, un diviseur premier sur Spec(Z) c'est un nombre premier. Mais bon à mon avis ça t'aidera pas trop à comprendre, il faut pas voir les diviseurs comme une généralisation de nombres premiers. Et puis les diviseurs, on s'en fout un peu en fait, comme le groupe libre des simplexes. Ce qui est intéressant c'est de voir quand la différence de deux diviseurs peut s'écrire comme le diviseur d'une fonction.

Si ça t'intéresse j'ai fais un projet sur les diviseurs sur les surfaces de Riemann compact ça mène au théorème de Riemann-Roch et à beaucoup de jolies applications en géométrie. Il y a tout ça dans le livre de Miranda, "Riemann surface and Algebraic Curves". Il est très bien fait ! Sinon il y a aussi le Hartshorne (que je lis à ce sujet d'ailleurs...) mais il est un peu plus dur évidemment. Bon travail !

[invitecbade190]

Merci pour ces précisions petrifie.
Oui, ça me fera plaisir de recevoir ton projet en pdf si cela ne te dérange pas.
- Pourrais tu m'expliquer ce qui différencie un diviseur de Weil et un cycle présentant une somme formelle de simplexes, parce que j'aimerai pouvoir trouver un analogue au théorème de De Rham lorsqu'on remplace un manifold par une variété algébrique ou un schéma de manière générale.
L'énoncé du théorème de De Rham se trouve à la page : du pdf suivant : www.jossenpeter.ch/PdfDvi/total.pdf
- Si on s'écarte un petit peu du monde des schémas, est ce qu'on peut considérer un groupe algébrique ? Je n'ai que très peu de connaissances en groupes algébriques. Si oui, est ce qu'on peut dans ce cas là, définir une intégrale d'une forme sur ce groupe algébrique comme on fait en théorie de la mesure de Haar sur un groupe de Lie ?
Bref, tout ça pour dire, est ce qu'on peut intégrer des formes sur un schéma algébrique de type ou sur un schéma quelconque ( mais sympas quant meme, par exemple, sans singularités, et projective ) ?

Merci d'avance.

[invite5357f325]

Je peux te l'envoyer. Pour le reste les questions que tu poses sont un peu trop "fouillis", et je ne connais pas du tout les groupes de Lie, où la théorie de l'intégration sur les variétés de manière très satisfaisante, je ne pense pas pouvoir y répondre, désolé. Il y a des théorèmes de comparaison entre Rham et la cohomologie des faisceaux (Cf Forster, Lecture on Riemann Surfaces).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci beaucoup petrifie. Je viens de recevoir ton fichier pdf dans ma boite électronique il y'a un instant.
Je vais commencer à le lire dès maintenant. 18 pages, ce n'est pas énorme.
Cordialement.

[invite47ecce17]

Si tu veux vraiment un exemple qui mélange diviseurs premiers et nombres premiers, comme les points de Spec(Z) c'est les nombres premiers, voilà ton analogie, un diviseur premier sur Spec(Z) c'est un nombre premier. Mais bon à mon avis ça t'aidera pas trop à comprendre, il faut pas voir les diviseurs comme une généralisation de nombres premiers. Et puis les diviseurs, on s'en fout un peu en fait, comme le groupe libre des simplexes. Ce qui est intéressant c'est de voir quand la différence de deux diviseurs peut s'écrire comme le diviseur d'une fonction.

Pour le coup on peut mener l'analogie plus loin, et je ne suis pas sure que ca soit d'ailleurs un mauvaise idée.
Si on regarde le spectre d'un anneau de Dedekind, typiquement l'anneau des entiers d'un corps de nombre, alors les diviseurs de Weil (ou de Cartier ca revient au meme) sont exactement les ideaux fractionnaires de l'anneau, et les ideaux principaux s'identifient au diviseurs rationnellement triviaux. De sorte que le groupe des classes de diviseurs au sens de la geométrie algébrique, est exactement le groupe des classes d'ideaux au sens de la theorie des nombres. Et pour le coup, personne ne nie que ce groupe soit tres interessant.
On peut poursuivre l'analogie, le groupe des classes de Spec(Z) et de la droite affine sont nuls tous le deux, c'est d'ailleurs exactement la meme démonstration. Les anneaux d'entiers de corps de nombres sont les schémas plat et fini sur sur Spec(Z), on peut etudier de la meme manière les schémas plats et finis sur la droite affine, i.e les revetements ramifiés de la droite affine. Ce qui est encore plus frappant c'est que Spec(Z) n'a pas de revetement non ramifié, il est simplement connexe, c'est la meme chose pour la droite projective.

Bref les deux etudes peuvent se mener en parallèle et les analogies fourmillent, et c'est bien l'interet de la geometrie arithmétique.

[invite9dc7b526]

(...) sont exactement les ideaux fractionnaires de l'anneau

tiens, je pensais qu'on ne parlait d'idéaux fractionnaires que dans le cas des corps.

[invite47ecce17]

C'est le cas, je voulais dire des ideaux fractionnaires du corps de fraction de l'anneau.
Dans le cas d'un corps de nombre, le corps est determiné par son anneau d'entiers (c'est son corps de fractions ) et l'anneau des entiers est determiné par le corps (ce sont les elements entiers sur Z), donc on attribue les qualificatifs un peu indifféremment à l'un ou l'autre (e.g les "unités" du corps de nombre).

[invite5357f325]

MiPaMa : merci beaucoup pour toute ces précisions !! Par contre, on est bien d'accord que c'est le groupe des classes de diviseurs qui est intéressant, et non pas le groupe des diviseurs en lui même ?

[invite9dc7b526]

C'est le cas, je voulais dire des ideaux fractionnaires du corps de fraction de l'anneau.

ah ok. Je faisais donc le tatillon. Critiquer la forme est la posture de ceux qui ne comprennent pas le fond...

[invite47ecce17]

Oui, oui, c'est le groupe des classes qui est interessants, les groupes de diviseurs ce sont des groupes libres, qui n'ont aucun interet.
Mais ce que je voulais signaler c'est que l'etude des diviseurs et des classes de diviseur dans le cas de Spec(O_k) c'est exactement l'etude des ideaux premiers et du groupe des classes de Spec(O_k). Bref on peut voir ce dernier comme une cas particulier de l'etude des diviseurs sur un schéma, et qui donne une exemple paradygmatique interessant.

[invite47ecce17]

ah ok. Je faisais donc le tatillon. Critiquer la forme est la posture de ceux qui ne comprennent pas le fond...

Critiquer la forme c'est aussi... faire des maths

[invite5357f325]

D'accord, c'était juste pour être sûr ! Je ne connaissais pas du tout cette facette des diviseurs, c'est plutôt chouette ! Merci encore des précisions.

[invitecbade190]

Bonjour,
Merci à vous tous pour tous ces éclaircissements ( meme si je ne pige rien en théorie des nombres )
Sauriez vous pourquoi la catégorie des schémas projectifs et en particulier la catégories des variétés algébriques projectives n'est pas une catégorie abélienne. J'ai l'impression qu'on peut définir une notion de noyau et d'image et de conoyau sur cette catégorie. Pourquoi cela n'est -il pas le cas ?
Une autre question :
Pourquoi les modules projectifs sont analogue aux fibrés vectoriels ? . Qu'en est -il des modules injectifs ?. Est ce qu'ils sont analogues à la notion d'espaces étalés ?
Merci d'avance.

[invitecbade190]

Je sais que la catégorie des fibrés vectoriels est équivalente à la catégorie des faisceaux de modules libres ( cf : Théorie de Hodge , Claire Voisin ), mais ,je ne voix pas pourquoi cette dernière est équivalente à la catégorie des modules projectifs, pour pouvoir conclure par transitivité que un module projectif est l'analogue à un fibré vectoriel.

[invite5357f325]

Salut,
quel structure de groupe tu voudrais mettre sur tes morphismes de schémas ?
La notion de variété abélienne existe déjà.

Pour ta deuxième question la réponse est donné par le théorème de Serre-Swan. L'idée intuitive est que les sections d'un fibré te donne un tel module, et que tout fibré provient d'un tel module. Il y a pas mal d'infos sur la page wikipedia : http://en.wikipedia.org/wiki/Serre%E2%80%93Swan_theorem

[invitecbade190]

Ah oui, merci beaucoup.

[invite5357f325]

Par curiosité : quelle était ton idée pour transformer la catégorie des schémas en catégorie abélienne ?

[invitecbade190]

J'ai vu ça ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique , plus particulièrement, les schémas en groupes qui ont une structure de groupes ( famille de groupes algébriques paramétré par un schémas. On additionne de la meme manière que ce qu'on fait pour additionner par rapport à un fibré vectoriel fibre par fibre, j'imagine. et en cas ou il s'agit d'un schéma quelconque, on peut le munir d'une structure de groupes comme étant un - schéma, non ?

[invite47ecce17]

Bonjour,
Merci à vous tous pour tous ces éclaircissements ( meme si je ne pige rien en théorie des nombres )
Sauriez vous pourquoi la catégorie des schémas projectifs et en particulier la catégories des variétés algébriques projectives n'est pas une catégorie abélienne. J'ai l'impression qu'on peut définir une notion de noyau et d'image et de conoyau sur cette catégorie. Pourquoi cela n'est -il pas le cas ?

Le minimum qu'on demande à une catégorie abélienne c'est d'avoir un objet universel. Le schéma vide est initial et Spec Z est final. Du coup qui est le 0?

Je sais que la catégorie des fibrés vectoriels est équivalente à la catégorie des faisceaux de modules libres

C'est faux, ce sont les modules localement libres. Comme sur un anneau local noetherien plat, libre et projectif sont équivalents.

[invitecbade190]

L'objet est nul ssi l'objet est final ( ici : ), Je ne comprends pas ce que fait l'histoire d'objet initial là.
Pour toi un objet est nul si : , ou bien s'il représente le foncteur , ou bien s'il représente le foncteur ?

[invite5357f325]

Un objet universel doit être final et initial, comme le groupe trivial {*} : pour tout groupe G, il existe un unique morphisme de {*} dans G et un unique morphisme de G dans {*}.

[invitecbade190]

Merci. et quel est l'objet universel dans la catégorie des schémas ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

Relis le message de MiPaMa et réfléchis ...

[invitecbade190]

D'accord. Donc, si je comprends bien ce que vous avez dit, il n'y'a pas un objet universel dans la catégorie des schémas qui est censé etre à la fois initial et final, non !?!
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique , vers la fin de la page, on réussit à construire quant meme des schémas ou S - schémas qui sont des morphismes additifs muni d'une structure de groupes ( groupe algébrique ) ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

Réfléchis pourquoi l'objet initial de Set n'est pas le même que celui de Grp, je pense que ça te donnera la réponse.

[invitecbade190]

Parce que : n'est pas un morphisme de schémas, c'est à dire, n'est pas une flèche de la catégorie des schémas, mais un morphisme entre deux objets chacun appartient à une catégorie distincte, non ?
Une autre petite question qui vous semblera un petit peu pas trop intelligente :
Sur le lien que j'ai mentionné dans le message précédent, est ce que si représente , est ce que cela signifie que et s'identifient. J'ai lu que oui, mais, je ne me souviens pas où.
Merci pour votre aide.

[invite5357f325]

Tu n'as pas répondu à ma question : qu'est ce qui différencie l'objet initial de la catégorie des groupes de l'objet initial de la catégorie des ensembles (applique le foncteur d'oubli au paragraphe sur les schémas en groupes pendant une minute )

[invitecbade190]

Qu'est ce qui différencie de ? je ne sais pas.
Je ne sais pas à quoi ça sert d'appliquer le foncteur d'oubli à ... Je ne sais qui.
Il faut montrer que : est bijective, non ?

[invite5357f325]

Appliquer le foncteur d'oubli au paragraphe était une touche d'humour (qui n'a pas marché apparemment).

Tu ne connais pas la différence entre l'ensemble vide et le groupe à un élément ? Aïe.