dimension d'ubn espace vectoriel

[invitea19e35c1]

bonjour a tous.
je travaille un exerice d'algebre , et j'ai eu un problene , je souhaite que vous puissiez m'aider
voici l'exercice ;
On considere l'application lineaire f de R3 definie par
quelque soit (x,y,z)appartenant a R^3 :fk((x,y,z))=(x+ky-kz,kx+y+kz,x+ky+kz),(k appartient a R)
determiner suivant le parametre de k , une base Img(fk).
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[invite23cdddab]

Ce que je ferrai :

1) Je calcule l'image de chacun des vecteurs de la base canonique, j'obtiens alors une famille génératrice (mais pas forcément une base ! )

2) je regarde ensuite pour quels paramètres k, ce que j'ai obtenu est une base (c'est à dire une famille libre, puisqu'elle est génératrice)

3) pour les valeurs de k ou ça n'est pas le cas, je regarde ce que je peux "enlever" pour obtenir une famille libre et génératrice

[invitea19e35c1]

bonjour,
pourquoi nous devons calculer l'image de chacun des vecteur canoniques ?

[gg0]

Une base (e_i)_i de E engendrant E, tout f(x) s'écrit (linéarité) comme combinaison linéaire des f(e_i). C'est soit dans ton cours, soit une application évidente de ton cours

[A voir en vidéo sur Futura]