Fermat pas mort !

[Gabriel]

La célèbre conjecture de Fermat disait que un nombre entier z élevé à la puissance n, ne pouvait pas être décomposé en la somme de 2 nombres entiers x et y , élevés à la puissance n, pour n entier supérieur à 2.
z^n = x^n + y^n n'a pas de solution.
Conjecture démontrée par Wiles en 1993.

Je propose de positiver la conjecture de Fermat :
Est-ce qu'un nombre entier z, élevé à la puissance n, peut-être décomposé en n puissances n ièmes ?
z^n = x1^n + x2^n + x3^n ... + xn^n ?

(avec xi entiers positifs)

2^1 = 1^1 + 1^1
5^2 = 4^2 + 3^2
6^3 = 5^3 + 4^3 + 3^3
353^4 = 315^4 + 274^4 + 120^4 + 30^4
... etc ... jusqu'à l'infini ???
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[Gwyddon]

Il me semble (à confirmer) que cette conjecture fait l'objet de travaux de recherches. Essaie de voir sur arXiv, tu auras peut-être des éléments de réponse

[martini_bird]

Salut,

c'est le problème de Waring.

Cordialement.

[leg]

bonjour
pour les pissances pairs il suffit de ramener à N =2 puisque toutes soultions dans une puissance pair > 2 est aussi une solution dans N=2 et probablement que dans N = 2 il y a une infinité de solutions,
Z²= x²+y² +a²...+...+...n².

de plus quelque soit une solution avec 3 ou plus d'entier tel que Z^N = X^N+Y^N+A^N....+ n^N
et toujours équivalent à: KZ² = Kx² + Ky² ou KZ³= Kx³+ Ky³+Ka³

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

suite:
353⁴= K (353²) = Z²
p =17, et q = 8; K = 353²

K 353² = K 272² + K 225² équivalent à
Z⁴= X⁴+Y⁴+A⁴ + B⁴.

on peut décomposer X^N avec N >3 en X (X^N-2 ce qui nous donnera soit X² ou X³

exemple pour N = 2 et Z = 20 qui est solution dans les N =2
alors: 7³+14³+17³=20³ est équivalent à :
20(12²) + 20(16²) = 20(20²) ou encore venant de la solution primitive du triplet 3.4 et5
20(4²(3²) + 20(4²(4²) = 20(4²(5²).

pour N = 3 et Z =12 qui est solution dans N =3
4⁵+5⁵+6⁵+7⁵+9⁵+11⁵= 12 ⁵
=
144(6³) + 144 (8³)+ 144(10³) = 144(12³) venant du quadruplet primitif : 3 ,4,5 et 6 où K = 12² * 2³..
A+

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Le sujet posté par gabriel est voisin de celui d' une
conjecture bien moins connue que le désormais célèbre
"grand théorème de Fermat" mais néanmoins interressante:c' est la conjecture d' Euler
elle s' énonce ainsi:

Une puissance nième parfaite ne peut ètre la somme de
n-1 puissances nièmes parfaites.

En d'autres termes cela signifie qu'une puissance
quatrième ne peut être la somme de trois puissances
quatrièmes,ou qu' une puissance cinquième ne peut être
la somme de quatre puissances cinquièmes.

Mais elle est fausse:elle a été infirmée pour la première
fois par L.J. Lander et T.R. Parkin en 1966 soit près de
deux cents ans aprèssa formulation par Euler en 1769
Ce premier contre exemple est le suivant:

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5

Puis en 1988 Noam Elkies a découvert une méhode qui
permet de construire autant de contre exemples que
l'on veut pour les puissances quatrièmes:le plus petit
d'entre eux est:

2682440^4+15365639^4+18796760^ 4=20615673^4

Par la suite Roger Frye a pu déterminer le plus petit
contre exemple possible pour les puissances quatrièmes
à l' aide de la méthode suggérée par Noam Elkies:c' est:

95800^4+217519^4+414560^4=4224 814^4

J' aimerais bien connaître les formules qui permettent
de construire des contre exemples:une recherche sur
le net m' a permis de trouver le lien suivant:

http://library.thinkquest.org/Euler's%20conjecture.html
Avis aux amateurs s'ils ont plus de chances que moi pour
cette recherche.....

le fouineur