Dérivation par rapport à la pseudo-inverse

[invitec7dd2ce0]

Bonjour,

Je cherche à calculer le gradient par rapport à une matrice où le rang de est fixe de la valeur suivante:



où :
- est la pseudo inverse de (Moore-Penrose)
- est une matrice symétrique et dont toutes les valeurs propres sont positives (ou nulles).

En utilisant la section 4 de l'article "The Differentiation of Pseudo-Inverses and Nonlinear Least Squares Problems Whose Variables Separate" (Golub et Perreyra)
qui est téléchargeable ici : http://www.vpereyra.com/files/SIAMNA73.pdf

J'arrive à la conclusion que le gradient de cette expression par rapport à est: mais je n'en suis pas sûr.

En effet, si ne dépendait pas de , le gradient de l'expression serait , puis en injectant (qui est idempotente) au début, je peux écrire que le gradient de est égal au gradient de en utilisant l'équation juste en-dessous de celle de l'éq 4.2 de Golub... mais j'oublie peut-être d'intégrer des termes qui dépendent de

Quelqu'un pourrait-il m'ôter ce doute ?

Merci d'avance.
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[invitec7dd2ce0]

J'ai oublié de préciser que est la matrice identité.