Cauchy et équations différentielles

[invite4308cf33]

Bonjour,

Je bloque sur un exo que voici :

y' = ylog(1+y)
y(0) = a > -1

On notera ya(t) la solution maximale du problème définie sur Ia=]T-,T+[ inclus dans R.

1) Déterminer l'ensemble sur lequel l'équation est définie.
2) Trouver toutes les solutions constantes du problème.
3) Montrer que pour tout a=/=0, la solution ya(t) ne change pas de signe.
4) Montrer que les limites et existent et les calculer.
5) Déterminer T+ / T- et tracer l'allure des solutions.

1) ylog(1+y) est défini sur
2) Il existe une solution constante =0
3) La solution maximale ya(t) ne peut pas croiser y=0 donc ya(t) ne change pas de signe.

Pour les deux questions suivantes, je suis bloquée... Je sais que ya(t) vit sur ]-1,+infini[, mais je ne vois pas comment faire... Quelqu'un pourrait me donner une indication ? Merci d'avance...
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[invite23cdddab]

Comme y ne change pas de signe, on a deux cas :

- si y(0) > 0, alors y' = y*log(1+y) > 0 pour tout t. Donc y est...
- si -1 < y(0) < 0, alors y' = y*log(1+y) > 0 pour tout t. Donc y est...

[invite4308cf33]

Dans tous les cas ya est croissante...
Si je prends le cas a < 0, alors ya < 0 et ya croissante.

Si T+ < +oo, alors par le théorème de sortie de compact, ce qui est contradictoire car ya < 0... On peut donc dire que T+ = +oo. Est-ce que c'est juste ? Mais dans ce cas, comment déterminer la limite quand t tend vers l'infini ?

(Je ferai T- et a>0 tout à l'heure...)

[invite23cdddab]

Essaye de montrer que si y est croissante et converge vers une limite finie, alors y' converge vers 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4308cf33]

Ah oui, par le théorème des accroissements finis ! Ce qui prouve que la limite de ya(t) en T+=infini est 0 !

Pour T- j'ai tenté un raisonnement similaire sauf que je bloque à nouveau.
On a encore a < 0 donc -1 < ya < 0 et ya croissante.

Le théorème de sortie de tout compact me dit que si T+ < +oo ou T- > -oo, alors ya(t) explose en T+ ou T-...

Donc je suppose que T- > -oo, ce qui signifierait que ce qui n'a aucun sens. Ce qui signifierait que T- = -oo. Ça n'est pas possible non plus... Où me suis-je trompée ? Y a-t-il un résultat du théorème que je ne comprendrais pas (ou mal) ? ... (Je débute)

[invite23cdddab]

Pourquoi est-ce que T- = -oo ne serrait pas possible?

[invite4308cf33]

Oui tu as raison, je suis un peu mélangée donc j'ai confondu la borne et la limite de cette borne.

Puisque T- > -oo est absurde (par le théorème de sortie de compact), alors on a T- = -oo, donc la limite de ya(t) en -infini est finie (ce qui est logique puisque -1 < ya < 0).
Reste maintenant à la déterminer... Tu as une idée?