groupe cyclique et non cyclique

[hmzapc]

Bonsoire
pour quoi un goupe à 3 elements pare exp (e;a;a^2) ne peut etre que cyclique mais un groupe à 4 élements peut etre cyclique comme il peut ne pas etre ; comment montrer ca !
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[Médiat]

Bonjour,

Pour le groupe à 3 éléments, il suffit d'envisager les différentes valeurs possibles pour a² (il n'y en a qu'une, pour le démontrer, cela dépend des théorèmes que vous connaissez (sans aucun théorème sophistiqué, cela prend 1 ligne, donc ce n'est très difficile de toute façon))

Pour le cas à 4 éléments il y a plusieurs possibilités (une cyclique et pas l'autre)

[invite9dc7b526]

Comme indiqué par Médiat, pour le groupe à 3 éléments on n'a pas le choix et c'est facile de s'en rendre compte "à la main". Mais il y a un argument qui permet de traiter d'un coup tous les groupes d'ordre premier. Soit G un tel groupe. Tu considères un élément a de G différent de 1. Le sous-groupe <a> engendré par a est d'ordre fini, diviseur de l'ordre du groupe. Comme <a> contient 1 et a cet ordre n'est pas 1 et donc est nécessairement égal à l'ordre de G qui est donc cyclique (engendré par a).

[Médiat]

diviseur de l'ordre du groupe.

C'est le théorème (de Lagrange) auquel je faisais allusion

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Il n'y a d'ailleurs qu'un seul groupe cyclique à n éléments (à isomorphisme prêt)