Groupe cyclique

[invite72334b6e]

Bonjour,

Comment montrer que le groupe additif Z/42Z x Z/5Z est-il cyclique ?

Merci d'avance!
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[invite2e5fadca]

Utilise le théorème Chinois.

[Linkounet]

En montrant qu'il est engendré par <(1,1)> càd tout couple (a,b) s'écrit k(1,1)

il faut donc trouver k tel que k=a (mod 42) et k=b (mod 5) avec par exemple le théorème chinois car 42 et 5 sont premiers entre eux.

[invite72334b6e]

OK daccord, merci. Donc il est isomorphe a Z/210Z qui est cyclique.

Par contre, si on a :

(Z/12Z) x (Z/4Z) isomorphe a (Z/130Z)*
l'ordre du groupe est 48.
7, 27, 41 sont des générateurs de ce groupe.
Comment trouver les éléments correspondant de ces générateurs dans (Z/12Z) x (Z/4Z) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e5fadca]

Il faut trouver un générateur du groupe (Z/130Z)*. Par le lemme Chinois :

Z/130Z -> Z/2Z x Z/5Z x Z/13Z
x -> (x, x, x)

qui induit un isomorphisme

(Z/130Z)* -> (Z/2Z)* x (Z/5Z)* x (Z/13Z)*

Il suffit de trouver un générateur de chaque groupe de droite. On trouve ainsi que (1, 2, 2) engendre le groupe de droite. Il faut maintenant remonter l'isomorphisme chinois. On cherche u,v,w entier tel que 10u + 26v + 65w=1. On voit que (u,v,w)=(4,1,-1) convient. Ainsi l'antécédent de (x1,x2,x3) dans l’isomorphisme ci dessus est donné par x = 10 u x3 + 26 v x2 + 65 w x1. Finalement, un générateur de (Z/130Z)* est
10*4*2+26*1*2+65*-1*1=2 - 65 = -63 = 77 [130]

Maintenant, tu peux écrire un isomorphisme entre Z/48Z et (Z/130Z)* :
Z/48Z -> (Z/130Z)*
n -> 77^n

Ainsi, tu peux déterminer tout les générateurs de (Z/130Z)* à partir de ceux de Z/48Z.

[invite2e5fadca]

Désolé mon post précédent ne répond pas à ta question, j'ai lu trop vite, et je n'ai pas eu le temps pour éditer. Voici

Il faut réussir à écrire un isomorphisme entre (Z/130Z)* et (Z/12Z) x (Z/4Z). Par le lemme Chinois, tu as l'isomorphisme d'anneaux

Z/130Z -> Z/2Z x Z/5Z x Z/13Z
x [130] -> (x [2], x [5], x [13])

qui induit un isomorphisme de groupes

(Z/130Z)* -> (Z/2Z)* x (Z/5Z)* x (Z/13Z)*

On a (Z/2Z)*={1} et des isomorphismes

(Z/5Z)* - > Z/4Z
2^n -> n

et

(Z/13Z)* - > Z/12Z
2^m -> m

car la classe de 2 est un générateur de ces deux groupes.

Ainsi, par composition tu as ton isomorphisme entre (Z/130Z)* et (Z/12Z) x (Z/4Z). Par exemple
7 -> (1 , 2 , 7) -> (1, 11)