Incertitude de Heisenberg

[invite576b9b48]

Bonjour tout le monde de ce superbe Forum, j'ai lu dans un article que le principe d'incertitude de Heisenberg est
d'un point de vue mathematique:
soit
on pose alors


Alors l'incertitude d'heisenberg est representé par le fait que

Ma question est : Comment se démontre l'inégalité précédente, Juste un coup de pouce me suffit, c'est à dire une indication serait largement suffisante,
Je suis coincé, j'ai essayé avec Cauchy Schwarz, mais rien n'a donné.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
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[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

C'est une question intéressante que tu évoques là. Tout d'abord, tu t'aperçois bien vite que le minimm est atteint pour
, correspondant à la position moyenne de la particule, et pour
qui correspond à la vitesse moyenne.
Un rappel enfin : f est la fonction d'onde, et vérifie donc .
Ca correspond aux observables physiques , et à la position .
Du coup, l'inégalité d'Eisenberg, c'est juste la formule suivante :
, grâce à la transformée de Fourier. Et ça c'est évident car les observables X et P satisfont la relation . Cf Wiki pour clarifier mes dires, notamment en ce qui concerne la physiue du problème, où il est fort probable que je sois à coté de la plaque.

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rvz

[invite576b9b48]

Merci pour la réponse
Mais comment se démontre cette inégalité
Est ce qu'il y a un lien sur le net ou je peux trouver plus de détails sur ça
Merci pour l'aide
Amicalement
Moumni

[invite6b1e2c2e]

Je ne sais pas.
Tu as juste à remarquer la chose suivante : Pose X = xId, P = i d/dx. Les 2 opérateurs que tu définis ainsi vérifient la propriété suivante
en utilisant respectivement le caractère antisymétrique de P et symétrique de X vis à vis du produit scalaire L^2, et chacun des termes ci -dessus se majore par par Cauchy Schwarz, doù le résultat.
Pour d'autres commentaires, essaye peut être wiki (en anglais c'est plus complet) ou un bon cours de Méca Q. (Je crois me souvenir qu'à une époque, Brézin avait un excellent poly sur sa page web.

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rvz, qui aimerait bien aussi avoir une réponse clarifiée sur tout ça, parce que là c'est un peu confus dans ma tête

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Bonjour,

Réponse de physicien au sujet du principe d'indetermination de Heisenberg. Ce principe n'est rien d'autre que l'inegalite de Schwarz comme expliqué par rvz. Je tire la suite d'une vieille discussion en physique, les notations dont celles d'un physicien, mais au fond tous les ingédients ont déjà été donnés.

Donc considerons un etat et deux observables and . La deviation standard est :


C'est naturel. Soit Alors De meme pour on a

Considerons ensuite la norme de qui est positive :

D'où :
Polynome du deuxieme ordre en toujours positif : et j'ai laisse tombe les primes puisque les commutateurs sont egaux :

Au passage, je n'ai pas fait explicitement référence à l'inégalité de Schwarz, j'utilise ici une manière élementaire de la redémontrer dans ce cas simple (la vieille ruse du polynome du second ordre défini positif... même les sioux la connaissaient ).

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Puisqu'on a la chance d'avoir un physicien qui se joint à notre conversation, tu pourrais me ( nous ?) redonner l'interprétation de l'opérateur position (est ce bien le P que j'avais écris, notamment ?).

En tout cas, merci beaucoup de prendre part à notre conversation et de clarifier mon propos.

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rvz

[Gwyddon]

Salut rvz,

L'opérateur P est l'opérateur impulsion, dont les valeurs propres sont les impulsions du système. L'impulsion moyenne (ie la quantité de mouvement moyenne pour une particule libre par exemple) est la valeur moyenne de l'opérateur P.

C'est l'opérateur X qui est l'opérateur position

[invite6b1e2c2e]

Ok, tout ça c'est bien beau, et je m'en souvenais plus ou moins. Ma question est plutot la suivante : Je me donne la fonction d'onde d'une particule. Je comprends tout à fait -en terme d'espérance- pourquoi la position moyenne est l'intégrale de x f(x), mais, je comprends moins pourquoi la vitesse moyenne est l'intégrale de xi f^(xi), et c'est sur ce point là que j'aurais besoin de renforcer mon intuition.

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rvz

[Gwyddon]

Tu peux préciser tes notations ?

J'aurais plutôt dit que la vitesse moyenne est la moyenne de P/m (où P est l'opérateur impulsion), ou de (P-qA)/m en présence de champ magnétique.

[invite6b1e2c2e]

Ba, justement, j'aimerais bien pouvoir les préciser, mes notations !
En fait, j'ai mis xi pour la variable de fourier, mais je sais pas si c'est vraiment ça, la vitesse moyenne de la particule.
Et évidemment, j'ai oublié le facteur 1/m. On n'a qu'à dire que je parlais de l'impulsion, d'accord ?

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rvz

[Gwyddon]

Ok j'ai compris

C'est une histoire de représentation du vecteur d'état d'une particule(je me place à une dimension pour faciliter le raisonnement, mais en 3D ça ne pose pas de soucis) :

Soit un tel vecteur. On se place en représentation dite lorsque l'on choisit de se placer sur la base continue des orthonormée (et vérifiant donc ) ; alors on définit .

Cette base est par définition la base des vecteurs propres de X. De même, on peut définir la représentation , base de vecteurs propres de P et dans cette base on définit

A partir de là, et de on peut retrouver la forme de l'opérateur P en représentation (celle en nabla) puis montrer que l'on a bien TF de .

Ainsi, ayant naturellement , en représentation cela donne et par Parseval-Plancherel tu montres que c'est égal à ce que tu aurais écrit en représentation (il valait mieux ! par souci de cohérence).

Tu peux sans doute trouver ça dans le Cohen ; j'avais fait ça en TD au début de l'année, si je le retrouve je peux poster l'énoncé sur le forum pour ceux que ça intéresse

[invite6b1e2c2e]

A partir de là, et de on peut retrouver la forme de l'opérateur P en représentation (celle en nabla) puis montrer que l'on a bien TF de .

Ainsi, ayant naturellement , en représentation cela donne et par Parseval-Plancherel tu montres que c'est égal à ce que tu aurais écrit en représentation (il valait mieux ! par souci de cohérence).

Resalut,

J'espère que tu as bien dormi Mais que signifie ce que tu as écris ici comme un axiome, que le commutateur de X et P vaut i h Id/2pi ? Ca vient d'où, ça ?
Si tu peux m'expliquer pourquoi on en arrive à poser ça comme fondement de la théorie, je suis toute ouïe.

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rvz

[invite5e1117d5]

Si tu prends ou alors une extention avec des distributions, je ne sais plus moi même.

avec



Donc

"Donc"

En fait, il faut faire des opérateurs non bornés, utiliser le théorème de Stone pour définir P proprement gràce au groupe des translations. Etc

Cette relation peut être également mise en relation avec le formalisme hamiltonien, dans lequel on a des "crochets de Poisson" {} qui vérifient

[Gwyddon]

En fait, la manière standard il me semble est de partir des crochets de Poissons. Sinon ce que présente ChromoMaxwell est particulièrement simple et fort sympathique


EDIT : au fait, je ne sais pas si c'est moi, mais j'ai l'impression que l'on a légèrement dévié du post initial

[invite6b1e2c2e]

En fait, il faut faire des opérateurs non bornés, utiliser le théorème de Stone pour définir P proprement gràce au groupe des translations. Etc

Salut,

C'est exactement ça que j'aimerais mieux comprendre. C'est quoi ce théorème de Stone, la densité des algèbres biséparantes dans C(K) ?
Merci pour vos réponses, en tout cas, même si on dévie effectivement pas mal...
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rvz

[invitea77054e9]

C'est quoi ce théorème de Stone, la densité des algèbres biséparantes dans C(K) ?

http://www.math.jussieu.fr/~maurey/ts012/poly/mths.pdf
page 120... Bonne lecture.

[invite6b1e2c2e]

Bon, d'accord, maintenant je vois de quel théorème on parle. Mais pouvez vous me détailler comment on passe de ce théorème (qui est essentiellement trivial, cf l'expo d'opérateur) à la formulation de p comme ih/(2Pi) d/dx ?

J'ai un peu l'impression que je me répéte, je sais, mais j'ai le sentiment que vous ne comprenez pas ce que je ne comprends pas, ce qui doit être la raison fondamentale de notre dialogue de sourd, et je m'en excuse. Cela dit, je n'arrive pas à reformuler précisément ma question et à expliquer ce qui me gêne.

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rvz

[invite576b9b48]

Bonjour
Je ne vous cache rien, j'ai posté mon premier message pour avoir une idée sur la preuve du principe d'incertitude de Heisenberg, mais les réponses proposée m'ont compliqué la vie puisque je m'attendais à une preuve ou une indication de preuve traitant que les notions mathématiques ( fonction de carré integrable, cauchy shwartz etc...) et non pas des notions physiques comme vous parlez. D'ailleur je ne comprend pas trop de ce que vous dite, a moins que vous donnez la notion physique et son équivalent en mathématiques
Merci bien davantage pour les nouvelles réponses.
Amicalement
Moumni

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Désolé d'avoir compliqué ta compréhension. En fait, je t'ai répondu dans les premiers posts, avec l'aide de 09jul95. Ca repose effectivement sur cauchy schwarz et sur le fait que le commutateur de X et de P est ih/(2pi).
Le reste, ce n'est qu'une discussion pour essayer de comprendre comment l'intuition physique de P se transforme en P = ih d/dx d'un point de vue mathématique.

__
rvz

[invitea77054e9]

Bonjour
Je ne vous cache rien, j'ai posté mon premier message pour avoir une idée sur la preuve du principe d'incertitude de Heisenberg, mais les réponses proposée m'ont compliqué la vie puisque je m'attendais à une preuve ou une indication de preuve traitant que les notions mathématiques ( fonction de carré integrable, cauchy shwartz etc...) et non pas des notions physiques comme vous parlez. D'ailleur je ne comprend pas trop de ce que vous dite, a moins que vous donnez la notion physique et son équivalent en mathématiques
Merci bien davantage pour les nouvelles réponses.
Amicalement
Moumni

Voici un lien vers un examen de l'ens lyon (tout en bas de la page, au format ps) traitant du principe d'incertitude de Heisenberg. Ca peut te donner quelques indications pour le démontrer.
Bonne lecture .

[invité576543]

Bonjour
Je ne vous cache rien, j'ai posté mon premier message pour avoir une idée sur la preuve du principe d'incertitude de Heisenberg, mais les réponses proposée m'ont compliqué la vie puisque je m'attendais à une preuve ou une indication de preuve traitant que les notions mathématiques ( fonction de carré integrable, cauchy shwartz etc...) et non pas des notions physiques comme vous parlez. D'ailleur je ne comprend pas trop de ce que vous dite, a moins que vous donnez la notion physique et son équivalent en mathématiques
Merci bien davantage pour les nouvelles réponses.
Amicalement
Moumni

Bonsoir,

Si tu cherches juste des maths, cela peut se voir comme une propriété de la transformée de Fourier. L'exemple le plus simple est celui d'une gaussienne. Si une gaussienne est d'écart-type s, alors sa transformée de Fourier est une gaussienne d'écart 1/s. Le produit des écarts-types est donc constant pour les gaussiennes. En d'autres termes, si j'ai une erreur (de stat gaussienne) qui s'étale sur une largeur s, alors la transformée de Fourier a une erreur qui s'étale sur 1/s. Si je prend a(t) une loi de probablité du temps d'arrivée de quelque chose, et A(f) sa transformée de Fourier, alors , les delta étant compris commes des écarts-type.

L'application à la physique peut se voir dans un cas simple, l'énergie et le temps. Comme on a E=hf, h étant la constante de Planck, on a bien f = E/h d'où .

En espérant que cela aide,

Cordialement,

[invite576b9b48]

Mais j'ai regardé en bas de la page et j'ai pas trouvé lelien vers un examen de l'ens lyon traitant du principe d'incertitude de Heisenberg.
J'ai regardé en fait les 4 sujets traitant le principe d'incertitude de Heisenberg dont les lien sont au bas de la page sans rien trouvé
Une indication et merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
moumni

[invite576b9b48]

Allo y a quelqu'un???
Est ce que quelqu'un peut me donner le site de cet examen dont l'objectif est de démontrer l'incertitude de Heisenberg
Merci pour l'aide

[invitea77054e9]

Allo y a quelqu'un???
Est ce que quelqu'un peut me donner le site de cet examen dont l'objectif est de démontrer l'incertitude de Heisenberg
Merci pour l'aide

Salut.

Désolé, en postant, j'ai oublié d'indiquer le lien que voici:
http://www.umpa.ens-lyon.fr/~cvillan.../iaf-2005.html (dernier lien en bas de la page, au format PS).

Bonne lecture

[invite576b9b48]

Merci evariste_galois pour la réponse. Je vais consacrer ce weekend à faire cet examen que je viens de télécharger afin que je puisse démontrer le principe d'incertitude de Heisenberg.
Merci 1000 fois

[invite576b9b48]

C'est fait j'ai démontrer le principe d'incertitude de Heisenberg et c'est grace au lien donné par evariste_galois que j'ai pu faire ça et c'est pourquoi je le remercie vivement

[invite7863222222222]

On peut te dire félécitation, je crois .