Bonjour
Voilà, je suis bloqué sur l'une des parties d'un problème sur lequel je suis et c'est la suivante :
Soit QK[X] de degré 2n (où n
a. Montrez qu'il existe un polynôme unique P
b. Soit a
Pour la première question je n'ai pas idée de la démarche pour l'existence d'or et déjà.
Salut,
Essaye d'écrire Q(X) = somme des a_n X^n, et essaye de traduire l'hypothèse en terme des coefficients a_n.
Pour la 2/, il y a juste à justifier pourquoi zéro ne peut pas être racine de Q...
__
rvz
Désolé je ne vois rien d'assez explicite pour avancer.
(Le sujet est vieux mais j'avais 1 mois pour le faire, il me reste quelques heures maintenant, j'ai fait presque tout le reste)
Tu as au moins du trouver que ak = a2n-k.
Pour le reste tu peux montrer que
j'ai trouvé depuis longtemps :
_ak=an-k
_ X^m + 1/(X^m) appartient à Vect(X + 1/X,...,(X + 1/X)^m)
Mes vrais problèmes résident :
_Dans la demo pour l'existence (je m'embrouille en passant par les sommations, ca ne correspond jamais... très lourd) : Can I have some help ?
_ pour le b c'est censé être évident ?
Ben faut le dire !Envoyé par alphmore
(Ce n'est pas ak = an-k mais ak=a2n-k)
Après tu prends ton expression de Q(X), tu mets Xn en facteur, tu découpes de k = 0 à n-1, et de k = n+1 à 2n, et le terme pour k = n. Dans les deux sommes tu fais les changements de variable nécessaires pour avoir une somme de 1 à n, et tu regroupes.
ok c'est bon, en fait c'est le petit mois entre le début et la fin de l'exercice qui m'a embrouillé
(sorry pour la faute de frappe dans les indices)
Sinon pour le b, en quoi le fait que 0 ne soit pas racine de Q suffit ?
C'est pas une vraie dem !
Au fait, cette méthode ne traite pas l'unicité en ce qui concerne P ?!
Ca ne te paraît pas évident que si a est différent de 0 alors a racine de Q est équivalent à (a+1/a) racine de P ?
certes
me reste donc l'unicité de P
faut revenir aux sommations "bourrines" ou alors une méthode qualitative existe ?
Je pense que tu aurais pu la démontrer directement, mais sinon il n'est quand même pas bien difficile de montrer qu'étant donné deux polynômes P et R tels que pour tout x non nul P(x+1/x) = R(x+1/x), on a nécessairement P = R.
très franchement je suis très mécontent de mon travail pour cet exercice, j'ai vraiment l'impression de rien faire.
J'affirme les choses sans les démontrer quoi...
Tu me donnes des idées que j'ai déjà puisque tu me dis ce qu'il faut démontrer, d'accord je veux bien mais les séries de "clair", "évident" ça me frustre pas mal.
Je vais me ramasser un petit "travail bâclé"...
Je suis pas fort en polynômes et en sommations : je sais. C'est pour ça je voulais de l'aide en fait
En gros :
Pour l'existence, j'ai factorisé X^n et je suis arrivé à une expression du type : X^n [ an + an-1 (X + 1/X) + ... + a0 (X^n + 1/X^n) ] et ainsi avec l'égalité de Vect j'ai juste dit qu'il existait UNE (parmis peut etre plusieurs donc!) suite de scalaires b0,...,bn telle que : X^n somme pour k=0,...,n[ bk*(1/X + X)^k ]
_ Comment tu me la démontrerais toi l'unicité, je trouve pas ça très sympas (chacun ses gpûts mathématiques mais bon), d'avoir à développer pour démontrer le R=P... Si j'avais une base avec mes (X + 1/X)^i ce serait simple mais ce n'est pas ce que j'ai démontré, j'ai qu'une appartenance à un espace vectoriel engendré, il peut très bien y avoir redondance ?!!
_ Clairement il ne me vient pas que 0 ne soit pas racine de Q, alors soit je suis très très nul (quoique sur les polynomes tu n'aurais pas tord), soit un gros détail m'échappe !
Les égalités mettant en jeu Q=fonction(X,1/X) n'empêche pas de manière magique 0 d'être racine ou alors c'est un nouveau théorème ?
Du calme, moi je te donne des indices, pas une démonstration détaillée, et c'est fait pour.
0 racine de Q, cela aurait des implications sur les coefficients et sur le degré de Q.
Si tu avais R(x+1/x) = P(x+1/x) pour tout x non nul, combien R-P aurait-il de racines ?
(*) tu as raison, toutes mes excuses, c'est juste que je suis à la bourre ce week end et j'arrive pas à réfléchir, cette fin de MPSI me stresse outre mesure
(*) je ne vois pas (encore une fois je pense à plein de choses, fonctions symétriques, élémentaires, éventuelles factorisations, divisions de polynomes, je connais le cours mais j'ai pas l'astuce)
(*) R-P=0 donc infinité de racines ? je ne vois pas le rapport
C'est beaucoup plus simple que ça. Si 0 est racine de Q, ça a une conséquence immédiate sur le coefficient a0. Or ici tes coefficients sont liés entre eux par la relation que tu as démontrée, et tu en déduis la valeur du coefficient a2n. Après tu regardes le degré du polynôme ...
Tu prends le problème à l'envers. Tu veux démontrer l'unicité donc R-P=0. Or si un polynôme a une infinité de racines ...(*) R-P=0 donc infinité de racines ? je ne vois pas le rapport
"Tu prends le problème à l'envers. Tu veux démontrer l'unicité donc R-P=0. Or si un polynôme a une infinité de racines ..."
En fait le problème c'est qu'au départ je n'ai pas R-P=0 ie R(x)-P(x)=0 mais R(x+1/x) - P(x+1/x) = 0
La transition n'est pas immédiate dans mon esprit, je hais les polynomes ca se confirme...
Ok pour 0 non racine de Q par l'absurde
Evidemment puisque c'est ce que tu veux démontrer.
Mais combien de valeurs prend x+1/x quand x parcours R* (ou C*) ?
Donc combien le polynôme (R-P) a-t-il de racines ?
Que peux-tu en conclure ?
_ une infinité de valeurs prisent par X+1/X
_ R-P a une infinité de racines sur K*
_ R-P polynome nul
comment rédiger pour le "une infinité de valeurs prisent par X+1/X" ?
Bon après c'est un détail
Merci
Si tu veux vraiment avoir l'impression de bien faire les choses, tu peux faire une petite étude de fonction (enfin rapide quand-même) et montrer que pour tout y appartenant à un certain ensemble (non fini), il existe x dans R tel que x+1/x = y.comment rédiger pour le "une infinité de valeurs prisent par X+1/X" ?
Bon après c'est un détail
J'avais trois applications de ça après justement
la première trouver les racines sur C d'un polynome de degré 4 a priori pas sympas
la deuxième trouver les racines sur C d'un polynome de degré 6 encore moins sympas
mais grace à l'exercice et à la méthode, ca se fait en utilisant d'autres choses démontrées comme (avec Q un polynome de degré 2n) :
X^2n * Q(1/X) = Q(X) ssi pour tout k=0,...,n-1 , ak=a2n-kX^m + 1/(X^m) appartient à Vect(X + 1/X,...,(X + 1/X)^m)
et de plus X^(m+2) + 1/(X^(m+2)) = (X+1/X)*(X^(m+1) + 1/(X^(m+1))) - X^m + 1/(X^m)
Le dernière application est plus chiante :
En utilisant Q=X^4+X^3+X^2+X+1 déterminez les cos et les sin des angles : 2Pi/5 et 4Pi/5
T'aurais des idées parmis les moins bourrines ? (même si je sais qu'il faudra en passer par là)
les cos et les sin sont les racines du polynomes que je sais calculer grace à la méthode
mais comment faire le lien entre racines et cos/sin ?
http://forums.futura-sciences.com/sh...hlight=4Pi%2F5
Ca peut te donner des idées.
Malheureusement rien de très exploitable, ca traite l'autre sens de recherche en admettant purement et simplement ce que je dois prouver
La formule dans le post #3 ne te rappelle rien ?
si mais je ne vois d'où partir, l'astuce du cos en fonction de w est valide pour n'importe quel angle.
En fait on n'a pas besoin d'une infinité de racines, il suffit qu'il y en ait plus que le degré du polynôme. Ca devrait éviter de te compliquer l'esprit sur le nombre de valeurs que prend x+1/x
