Axiomes de ZFC

[jtruc34]

Bonjour, j'ai quelques questions à propos des axiomes de ZFC.

• Axiome d'extensionnalité : pourquoi ne définit-on pas simplement l'égalité plutôt que d'en faire un axiome ? Ou alors l'égalité est définit autrement, mais alors comment ?
  
• Schéma d'axiome de remplacement : premièrement, pourquoi le nom « remplacement »?
  Ensuite, quel est l'enjeu de cet axiome, autrement dit, à quoi sert-il ?
  
• Schéma d'axiome de compréhension : un peu les mêmes questions. Le nom vient du fait qu'à chaque fois qu'on parle d'un ensemble en désignant le prédicat que respectent ses éléments, mais pourquoi précisément ce nom, en fait ?
  Ensuite, j'ai trouvé qu'il empêchait de construire des ensembles mauvais comme l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes, mais je ne vois pas en quoi cela l'empêche.
  Je me demande aussi comment on s'est rendu compte que c'était précisément le schéma d'axiome de compréhension non restreint qu'il fallait modifier pour empêcher de construire de tels ensembles paradoxaux.
  
• Axiome du choix : quel est l'enjeu de cet axiome ? Pourquoi est-il tantôt utiliser tantôt non ?

Ça fait beaucoup de questions, je vous remercie donc d'avance !
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[Médiat]

Bonjour,

1) ZFC est une théorie égalitaire, l'égalité au sens général mathématique y est incluse, cet axiome empêche que deux ensembles différents (au sens de l'égalité) aient exactement les mêmes éléments
2) Nom : A cause de la relation fonctionnelle, d'une certaine façon on "remplace" les éléments d'une ensemble connu pas leurs images ; il sert à créer de nouveaux ensembles à partir d'ensembles connus (comme l'axiome de la paire ou celui des parties)
3) Nom : parce que l'on donne une "compréhension" des éléments qui constitue l'ensemble ; c'est bien lui qui empêche de construire des "mauvais ensembles", puisque l'on ne peut construire que des sous-ensembles d'ensembles déjà définis
4) L'axiome du choix est absolument nécessaire pour des théorèmes que l'on a envie de pouvoir démontrer (par exemple que tous les espaces vectoriels possèdent une base) ; si on peut démontrer un résultat sans AC, le résultat est plus général, mais parfois, on n'a pas le choix (si j'ose dire)

[jtruc34]

Bonjour,

Merci de la réponse !

1) Par conséquent, comment définit-on l'égalité ? Simplement par les propriétés de cet opérateur ? Mais il faut bien définir ce qui est égal ou pas. B = A si pour tout prédicat P, P(A) => P(B) ?
Je ne comprends pas vraiment comment l'on pourrait, en l'absence de cet axiome, construire deux ensembles égaux qui ont des éléments différents.
Qu'entend-on par théorie égalitaire ?
Je suis tombé hier sur FS sur un sujet encore actif sur l'égalité, qui ressemblait par endroit plus à un gros troll qu'à autre chose, et il ne m'a pas vraiment aidé.

2) J'avais cru lire je ne sais où (c'est le problème des je ne sais où, c'est qu'on ne sait pas où c'est) qu'il résolvait certaines contradictions de la théorie « naïve » des ensembles. C'est le cas ?

3) Je ne comprends pas en quoi il empêche de construire l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Et de toutes manières, l'axiome de fondation empêche de construire un ensemble qui se contient lui-même.

4) J'ai lu il y a fort longtemps que cet axiome amenait parfois à des résultats qu'on aimait pas, parce que contrintuitif ou contradictoire, je ne sais plus. Je mélange tout ou c'est bien le cas ?

D'une manière générale, j'aimerais bien comprendre comment on est arrivé à de tels axiomes, à se dire qu'ils étaient cohérents et qu'ils résolvaient les problèmes de la théorie de Cantor. Je ne sais pas si c'est accessible.

Merci beaucoup !

[Médiat]

Bonjour,

1) Une théorie égalitaire est une théorie qui contient le symbole =, celui-ci vérifiant un certain nombre de propriétés dont celles que vous avez cités (donc on ne s'en passe pas)

Je suis tombé hier sur FS sur un sujet encore actif sur l'égalité, qui ressemblait par endroit plus à un gros troll qu'à autre chose

Je confirme, malheureusement.

2) Oui

3) Comment définissez-vous cet ensemble ? Les axiomes de remplacement (ou de compréhension) sont plus généraux que ce seul problème.

4) Voir l'aphorisme :

L'axiome du choix est évidemment vrai, le principe du bon ordre est évidemment faux, et le lemme de Zorn personne n'en sait rien

Alors que les 3 sont équivalents, l'intuition ici est plus un handicap qu'autre chose (voir aussi le paradoxe de Banach-Tarski)

Les axiomes ont été ajoutés petit à petit en fonction des besoin et/ou des contradictions

[A voir en vidéo sur Futura]

[jtruc34]

1) L'égalité est-elle donc définie hors de la théorie ? Elle fait partie du langage qu'on utilise pour décrire les relations entre les prédicats portant sur des propositions de la théorie en question, c'est cela ?

Il reste que je ne vois pas comment, sans cet axiome, on pourrait construire deux ensembles différents, ne respectant donc pas les propriétés d'ensembles égaux, mais ayant exactement les mêmes éléments. Ce qui définit un ensemble est pourtant uniquement ce qu'il contient, non ?

2) Aurais-tu un exemple ?

3) On pourrait définir, pour le paradoxe du barbier, l'ensemble des hommes de la ville. Le barbier en fait donc partie. Le prédicat est « est raté par le barbier ». Et le sous-ensemble est l'ensemble des hommes qui respectent ce prédicat. Cela est évidemment impossible dans ZF mais je ne comprends pas où est justement le problème.

Les axiomes de remplacement (ou de compréhension) sont plus généraux que ce seul problème.

Aurais-tu un exemple ?

4) Mais hors considération d'intuition, cet axiome ne cause pas d'incohérence ?

Dans quel domaine des mathématiques est-on amené à préférer ZF sans l'AC ?

Merci beaucoup !

[Médiat]

1) L'égalité est-elle donc définie hors de la théorie ? Elle fait partie du langage qu'on utilise pour décrire les relations entre les prédicats portant sur des propositions de la théorie en question, c'est cela ?

1') Il reste que je ne vois pas comment, sans cet axiome, on pourrait construire deux ensembles différents, ne respectant donc pas les propriétés d'ensembles égaux, mais ayant exactement les mêmes éléments.

1") Ce qui définit un ensemble est pourtant uniquement ce qu'il contient, non ?

2) Aurais-tu un exemple ?

3) On pourrait définir, pour le paradoxe du barbier, l'ensemble des hommes de la ville. Le barbier en fait donc partie. Le prédicat est « est raté par le barbier ». Et le sous-ensemble est l'ensemble des hommes qui respectent ce prédicat. Cela est évidemment impossible dans ZF mais je ne comprends pas où est justement le problème.



Aurais-tu un exemple ?

4) Mais hors considération d'intuition, cet axiome ne cause pas d'incohérence ?

Dans quel domaine des mathématiques est-on amené à préférer ZF sans l'AC ?

1)L'égalité est définie en amont de la théorie ZF, parce que cette définition est valide pour tous les langages et toutes les théories

1') Qu'est-ce qui, a priori (sans l'axiome d'extensionalité ), interdit dans un graphe que 2 objets reçoivent exactement les mêmes flèches ?

1") C'est l'axiome d'extensionalité qui permet cela

2) La classe de tous les ensembles n'est pas un ensemble.

3) Il faut se méfier du paradoxe du barbier (ce n'est qu'une analogie, il ne faut pas lui en demander plus), j'avais fait une synthèse là : http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post4718350
Cette axiome sert beaucoup pour montrer que des classes ne sont pas des ensembles (les ordinaux, les cardinaux, ...)

4) Non, pas d'incohérence (pas plus que dans ZF en tout cas), c'est le résultat obtenu par Gödel en 1931 et complété par Cohen en 1963.

On ne préfère pas ZF à ZFC, tant que l'on peut démontrer sans AC on le fait (dans tous les ev, toutes les bases ont le même cardinal) sinon on ajoute AC (tous les ev ont une base)

[jtruc34]

Bonjour, et excusez-moi de répondre après autant de délai.

1) C'est-à-dire uniquement définie par ses propriétés et rien d'autre ?

1') Je ne suis pas du tout ce que tu entends, à vrai dire.

1'') Si ce que je dis à 1) est correct, je comprends.

2) Mais pourquoi ce axiome dit-il cela ? Je ne saisis pas.

3) Je ne suis pas non plus, pourrais-tu exprimer un exemple simple d'une construction invalide d'un ensembld et montrer en quoi cet axiome l'invalide ?

4) D'accord. J'ai un ami dont le domaine d'étude est plutôt les maths constructivistes et la logique intuitionniste et il a tendance à parler de l'AC avec un regard cynique et à le rejeter. Dans ma compréhension, c'est parce que cet axiome ne sert à montrer aucun résultat constructiviste, tout ce qu'il dit, c'est que certains objets mystérieux peuvent exister mais on en sait rien lesquels. Ma vision est correcte ? (le mieux serait de demander à cet ami mais il est un peu inaccessible avant longtemps)

De plus, j'ai lu que l'AC menait à des résultats peu intuitifs, voire contrintuitifs (même si cohérents avec ZF).

4)' Quels sont-ils, en gros (càd quel genre de théorèmes) ?

4'') Quelle intuition puis-je trouver du fait qu'un axiome cohérent et plus ou moins intuitif puisse amener à des résultats pas intuitifs ?

Merci beaucoup !

[Médiat]

Bonjour,

1) Oui, c'est le principe de l'axiomatique
1') L'appartenance est une relation binaire, elle peut se représenter par un graphe (et vice-versa)
2) Parce que si la classe de tous les ensembles était un ensemble, on aboutirait à une contradiction (avec l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas) en utilisant l'axiome de compréhension
3) cf. 2) ou paradoxe de Burali-Forti (sur les ordinaux)
4) Oui, cf. l'aphorisme de Jerry Bona message #4 ; l'intuition est une chose dangereuse en mathématique, surtout en théorie des ensembles
4') Dans tous les espaces vectoriels toutes les parties libres peuvent être complétées pour former une base ; Tout produit de compacts est compact ; etc.
4") Théorème de Banach-Tarski (le terme paradoxe est correct, mais dangereux, car généralement mal interprété)

[Murmure-du-vent]

j ai perdu une preuve de l esistence d une base pour tout espace vectoriel grace a
l axiome du choix. peut on la retrouver en ligne?
merci

[Médiat]

http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy...ornoyChap4.pdf

Proposition 2.13

[Deedee81]

Salut,

Proposition 2.1.3

Attention, c'est 2.13. J'ai dû chercher un moment pour la voir

[Médiat]

Ooops

Je corrige dans mon message pour éviter que d'autres cherchent

[jtruc34]

Bonjour,

Merci beaucoup des réponses ; pour 1), plus de questions.

2)3) Je ne comprends pas où est la contradiction du schéma d'axiomes de compréhension/remplacement (le premier découlant du second). Ce que l'on peut dire, c'est que si l'on s'autorise à construire de tels ensembles, on arrive à des paradoxe.

Mais par exemple, si je construis un ensemble bien défini A, auquel je réunis l'ensemble X où X est l'ensemble des éléments de A n'appartenant pas à eux-mêmes. Si je pose la question, X appartient-il à lui-même, ne tombé-je pas dans le même paradoxe ? J'ai l'impression que le problème se situe au moment où je définis X : X doit être élément de A pour être défini mais X doit déjà être définit pour être ajouté à A. Mon raisonnement est correct ?

En fait, j'aimerais bien trouver un moyen de sentir en quoi le schéma restreint d'axiomes est plus cohérent que le schéma naïf (en gros, pour voir comment on a pu avoir l'idée de le restreindre de cette façon et pas autrement).

4) Peut-on donc faire des maths constructivistes en utilisant l'axiome du choix ? C'est-à-dire, l'axiome du choix sert-t-il à quoi que ce soit sans le tiers exclu ? Y aurait-il des incohérences en maths intuitionnistes causées par l'AC ?

4') J'aurais plutôt tendance à penser que c'est parce que le symbole "il existe" en maths intuitionnistes veut dire qu'il y a un moyen de construire l'objet en question (et non simplement qu'il existe mais qu'il est peut-être pas accessible) , et que par conséquent, l'axiome du choix aurait une signification beaucoup plus forte qu'en logique classique. Donc, on le rejète pour éviter de prouver des choses pas du tout intuitives. C'est correct comme raisonnement ?

Merci beaucoup !

[Médiat]

2)3) Je ne comprends pas où est la contradiction du schéma d'axiomes de compréhension/remplacement (le premier découlant du second). Ce que l'on peut dire, c'est que si l'on s'autorise à construire de tels ensembles, on arrive à des paradoxe.

Mais par exemple, si je construis un ensemble bien défini A, auquel je réunis l'ensemble X où X est l'ensemble des éléments de A n'appartenant pas à eux-mêmes. Si je pose la question, X appartient-il à lui-même, ne tombé-je pas dans le même paradoxe ? J'ai l'impression que le problème se situe au moment où je définis X : X doit être élément de A pour être défini mais X doit déjà être définit pour être ajouté à A. Mon raisonnement est correct ?

Soit un ensemble et et et il n'y a plus de paradoxe puisqu'on ne peut plus établir l'équivalence :

En fait, j'aimerais bien trouver un moyen de sentir en quoi le schéma restreint d'axiomes est plus cohérent que le schéma naïf (en gros, pour voir comment on a pu avoir l'idée de le restreindre de cette façon et pas autrement).

L'exemple ci-dessus

4) Peut-on donc faire des maths constructivistes en utilisant l'axiome du choix ? C'est-à-dire, l'axiome du choix sert-t-il à quoi que ce soit sans le tiers exclu ? Y aurait-il des incohérences en maths intuitionnistes causées par l'AC ?

4') J'aurais plutôt tendance à penser que c'est parce que le symbole "il existe" en maths intuitionnistes veut dire qu'il y a un moyen de construire l'objet en question (et non simplement qu'il existe mais qu'il est peut-être pas accessible) , et que par conséquent, l'axiome du choix aurait une signification beaucoup plus forte qu'en logique classique. Donc, on le rejète pour éviter de prouver des choses pas du tout intuitives. C'est correct comme raisonnement ?

Merci beaucoup !

Le problème est plutôt que les constructivistes refuse l'axiome du choix (puisqu'il n'est pas constructif, justement), de la même façon qu'ils refusent le tiers exclu, on peut parfaitement ajouter AC aux mathématiques constructivistes, mais le théorème de Diaconescu montre que l'on peut en déduire le tiers exclu.

[jtruc34]

Bonjour !

2)3) Aah, je vois, le schéma de compréhension ne permet pas de construire des ensembles qui parlent d'eux-mêmes.

4) Quel joli théorème, je trouve.

Je n'ai plus de question.

Merci beaucoup d'avoir passé autant de temps à m'aider !

(Y aurait-il un moyen de mettre en résolu ?)

[Murmure-du-vent]

merci pour le lien sur les bases des ev