Axiomes ou définitions ?

[invite05799208]

Bonjour à tous,

Je me pose depuis un certain temps la question suivante :
Qu'est-ce qui différentie, exactement, l'axiome d'une simple définition ?
En effet, que fait-il d'autre qu'établir rigoureusement ce dont on parle ?
Quel besoin a-t-on de partir de "bases fixes que l'on doit admettre", alors que c'est l'essence même de toute définition qu'elle est arbitraire et que seules ses implications sont intéressantes ?

Par exemple, la géométrie euclidienne, par ses axiomes (ou "postulats"), propose sa définition de la droite, et les géométries non euclidiennes en proposent une différente, il n'y a donc aucun paradoxe là dedans... Pourquoi accorde-t-on ce statut particulier à l'axiome ?

En plus, j'ai cru remarquer qu'il est souvent admis que les axiomes font en quelque sorte office de définition ; ils montrent simplement ce qu'on entend par les noms des objet.

D'ailleurs, d'après ce que j'ai cru comprendre (mais j'ai peut-être mal compris !) les théorie des ensembles se basent sur le concept d'ensemble, mais n'en définissent pas réellement les propriété, leur nature n'est pas explicitée... Ce qui est fait dans les "axiomes"... (Cela leur donne bien une valeur de définition.)


Y a-t-il donc vraiment une différence essentielle entre ces deux concepts ? Quelqu'un peut-il m'éclairer à propos de cela ?

(Il ne me semble pas que les axiomes soient nécessaires pour construire un système de déduction mécanique, "computable", les définitions pouvant suffire à mon avis...)
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[Médiat]

Qu'est-ce qui différentie, exactement, l'axiome d'une simple définition ?

Qu'appelez-vous définition et axiome ? A priori je dirais que les deux termes désignes des propositions closes (pour les définitions et les axiomes) ou non (pour les définitions uniquement). Il y a donc une première différence mais qui n'apparaît pas toujours (par exemple différence entre être un élément du centre d'un groupe, et la commutativité).

On peut donner une définition hors de toute théorie, alors que par définition un axiome n'est axiome que dans le cadre d'une théorie (il peut être utilisé dans plusieurs, mais il en faut une).

Quel besoin a-t-on de partir de "bases fixes que l'on doit admettre", alors que c'est l'essence même de toute définition qu'elle est arbitraire et que seules ses implications sont intéressantes ?

Vous touchez un point philosophique, l'expression en gras n'a aucun sens pour un formaliste (comme moi ), elle peut en avoir pour un platonicien.

Par exemple, la géométrie euclidienne, par ses axiomes (ou "postulats"), propose sa définition de la droite, et les géométries non euclidiennes en proposent une différente, il n'y a donc aucun paradoxe là dedans... Pourquoi accorde-t-on ce statut particulier à l'axiome ?

La géométrie euclidienne ne propose pas une définition de la droite de façon ontologique, mais uniquement par ses propriétés (tout bidule qui vérifie les axiomes a le droit d'être appelé "droite".)

En plus, j'ai cru remarquer qu'il est souvent admis que les axiomes font en quelque sorte office de définition ; ils montrent simplement ce qu'on entend par les noms des objet.

En tout état de cause l'ensemble des axiomes d'une théorie forment la "définition" de cette théorie.

D'ailleurs, d'après ce que j'ai cru comprendre (mais j'ai peut-être mal compris !) les théorie des ensembles se basent sur le concept d'ensemble, mais n'en définissent pas réellement les propriété, leur nature n'est pas explicitée... Ce qui est fait dans les "axiomes"... (Cela leur donne bien une valeur de définition.)

Les axiomes de la théorie des ensembles (comme pour toutes les théories) ne fait que "définir les propriété" des ensembles.

(Il ne me semble pas que les axiomes soient nécessaires pour construire un système de déduction mécanique, "computable", les définitions pouvant suffire à mon avis...)

Si dans la définition vous incluez les propriétés des éléments de la théorie, cela veut dire que vous incluez les axiomes ...

Au fait, vous n'avez pas répondu : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2951698

[invite05799208]

Qu'appelez-vous définition et axiome ? A priori je dirais que les deux termes désignes des propositions closes (pour les définitions et les axiomes) ou non (pour les définitions uniquement). Il y a donc une première différence mais qui n'apparaît pas toujours (par exemple différence entre être un élément du centre d'un groupe, et la commutativité).

On peut donner une définition hors de toute théorie, alors que par définition un axiome n'est axiome que dans le cadre d'une théorie (il peut être utilisé dans plusieurs, mais il en faut une).

Donc, on voit bien qu'il n'y a qu'une nuance dans le formalisme actuel entre l'utilisation des deux notions. Mais leur sens intrinsèque est le même, me semble-t-il..?

Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire des théories axiomatiques distinctes et indépendantes... Pourquoi ne pas simplement faire une théorie unique, où la droite d'Euclide et celle de des espaces hyperboliques portent simplement des noms différents, mais cohabitent ?

La géométrie euclidienne ne propose pas une définition de la droite de façon ontologique, mais uniquement par ses propriétés (tout bidule qui vérifie les axiomes a le droit d'être appelé "droite".)

[...]

Les axiomes de la théorie des ensembles (comme pour toutes les théories) ne fait que "définir les propriété" des ensembles.

Mais que peut-on définir d'autre que des propriétés ? Qu'y a-t-il à part elles ?
Il y a le nom, c'est à dire l'étiquette qu'on colle au concept (et qui n'a pas d'intérêt) et les propriétés qu'on accorde à ce concept, c'est à dire l'ensemble des liens qui vont le connecter au reste de la connaissance ; car il semble que la connaissance n'est rien d'autre qu'un ensemble de nœuds intriqués que relient des liens logiques.

Au fait, vous n'avez pas répondu : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2951698

Désolé, si je n'avais pas répondu, c'est parce que la réponse m'avait satisfait

[invite4ef352d8]

"Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire des théories axiomatiques distinctes et indépendantes... Pourquoi ne pas simplement faire une théorie unique, où la droite d'Euclide et celle de des espaces hyperboliques portent simplement des noms différents, mais cohabitent ?" >>>


c'est ce que font presque tout les mathéticiens : ils utilisent une notion "intuitive" de ce qu'est un ensemble et travail avec. mais si tu veux rentrer un peu dans les détail de pourquoi certaine propriété 'intuitive' sont vrai, que tu veux comprendre ce qu'est une proposition indécidable, etc... ou encore que tu veuille discuter de la différence entre une définition et un axiome, et bien tu as bessoin de faire ce qu'on appelle de la logique qui est justement l'etude des théories axiomatiques. et la réponses du logiciens à cette question serait : "pourquoi pas, mais qu'elle théorie choisir ? il y en à plein et aucune n'est meilleur qu'une autres"


pour la question de départ "oui si on regarde de très loins un axiome et une définition ca ce ressemble beaucoup"... mais c'est quand même pas la même choses.


Une définition, c'est juste "donner un nom à quelque chose" : je décris un objet et je dis "j'appelle ceci un groupe, une fonction" etc...
en ce sens, ca ne peut pas être "vrai" ou "faux" puisque ca n'apporte rien en sois. on pourrai ecrire toutes les math sans donner aucune définition : prouver des théorèmes qui ne parlent que d'ensembles et de rien d'autres, mais ca serait completement illisible !

un exemple de définition : "on appelle fonction de A dans B un triplet (A,B,G) ou A et B sont des ensembles et G est une partie de A * B tel que pour tous x dans A il existe un unique g dans G tel que la projection de g sur A soit x." tu vois bien que dire que ce genre d'énoncé est "faux" n'as aucun sens.

un axiome c'est une propriété, qui pourait très bien être "fausse"*, mais qu'on "suppose vrai".
un exemple d'axiome : "si a et b sont deux ensemble**, alors il existe un ensemble c, tel que x appartiens à c si et seulement si x=a ou x=b}" ca te parait evident, parceque tu sais que c={a,b} mais c'est un énoncé pour lequel ca a un certain sens de dire "c'est vrai" ou "c'est faux".


d'un autre coté, les deux notions sont très proche dans le sens suivant :

quelque part, les axiomes de la théorie des ensembles sont la définition de ce qu'est un ensemble. en effet, c'est impossible de "définir" un ensemble à partir de rien (pour définir quelque chose il faut des objet au départ...). donc au lieu de les définir on donne une liste de propriété que sont sensé vérifier les ensemble : ce sont les axiomes de la théorie des ensembles, et on fait l'hypothèse que "il existe bien de tel objets qui vérifient toutes ces propriété".

* : oui je sais, le terme faux est ici mal employé. ce que j'entend par là c'est plutot "contradictoire"

** : dans la théorie des ensemble, tout les objet sont des ensemble, le terme ensemble est ici à interpréter comme "objet quelconque".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite05799208]

Bonjour Ksilver.
Je n'ai jamais parlé de faire des choses "intuitives", bien au contraire !
J'émettais la possibilité qu'on puisse reformuler les mathématiques à partir des seules définitions, sans utiliser d'axiomes et sans multiplier les "théories axiomatiques", dont je ne vois pas l'intérêt.
On peut selon moi tout à fait transformer les propriétés que sont les axiomes de la théorie des ensembles en simples définitions, puisque tu admets toi-même qu'au final, c'est bien de définitions dont il est question.
Partant de là, pourquoi ne serait-il pas possible d'établir un raisonnement tout aussi rigoureux que le raisonnement axiomatique ? On peut parfaitement découler les propriétés les unes des autres juste à partir de définitions. Ce qui importe, ce sont les implications, car à la base il n'y a rien de "vrai" ou de "faux", et rien à supposer tel, mais seulement des implications logique : "Par définition, disons que si cet objet est un ensemble, alors il vérifie telle propriété"...
Ensuite, l'existence mathématique se définit, comme tu le dis, par le simple fait qu'un tel objet soit cohérent ou non (que ses propriétés se contredisent ou pas).
Ainsi, en ayant posé une définition, je peux vérifier l'existence mathématique d'un tel objet en regardant simplement si ses propriétés ne sont pas contradictoires, selon les définitions déjà posées. Il n'y aurait pas "d'hypothèses" d'existence à faire, l'existence serait définie comme la simple cohérence de l'objet défini.
Cette vérification se faisant grâce à la logique universelle (dont on se sert aussi, par ailleurs, pour découler les propriétés dans les théories axiomatiques ; voir : Aristote, qui montrait que la base de la logique humaine était le syllogisme), logique qui ne nécessite aucun axiome, selon moi.

Ce que je dis là, c'est une simple extrapolation aux fondements des mathématiques de la démarche pourtant classique de l'esprit déductif lorsqu'il dit :
"Soit un réel dont le carré vaut -1. Ce réel n'existe pas" ... Avant même de parler d'ensemble, pourquoi ne pas parler de la logique et de l'existence, qui sous-tendent toutes les mathématiques ?

Bien sûr, je m'écarte des théories habituelles, mais je crois qu'il peut être intéressant de prendre la peine de regarder ce que point de vue peut donner...

[Médiat]

un axiome c'est une propriété, qui pourait très bien être "fausse"*, mais qu'on "suppose vrai".

A titre personnel, et pour éviter plein de confusions, je me méfie de ce vocabulaire (je ne l'aime pas), car "supposer vrai" cela suppose, philosophiquement, qu'il y a une autorité qui décide du vrai, ne nous laissant que la possibilité de le supposer.

Autre point important, je préfère laisser le vocabulaire vrai/faux à la partie sémantique de la logique (et encore avec précaution), plutôt qu'à sa partie syntaxique

Par exemple pour la théorie des groupes, dire "je suppose vraie la commutativité" me paraît moins parlant que "j'ajoute l'axiome de commutativité aux autres axiomes" ; si quelqu'un me disait "on suppose vraie la commutativité" je me dirais immédiatement, pourvu qu'il ne se trompe pas avec cette supposition, question que je me poserais sous une toute autre forme dans le cas "j'ajoute l'axiome de commutativité aux autres axiomes", plus précisément je me demanderais si cette axiome en plus met en péril la consistance (et non la vérité) de la théorie des groupes.

Ce n'est que du vocabulaire, mais j'ai lu tellement de choses au mieux ambigües, au pire fausses, uniquement à cause de ce vocabulaire...

[Médiat]

Donc, on voit bien qu'il n'y a qu'une nuance dans le formalisme actuel entre l'utilisation des deux notions. Mais leur sens intrinsèque est le même, me semble-t-il..?

Presque, la définition :
Je définis le nouveau prédicat P dans le cadre de l'axiomatique de Peano par : P(x) si et seulement si x est premier (facile à écrire), est une définition, celle de P, en aucun cas un axiome.

Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire des théories axiomatiques distinctes et indépendantes... Pourquoi ne pas simplement faire une théorie unique, où la droite d'Euclide et celle de des espaces hyperboliques portent simplement des noms différents, mais cohabitent ?

Cela obligeraient à définir des prédicats unaires pour définir les différents type de droites. Les écritures seraient abominablement compliquée, sans rien apporter. De plus la théorie des modèles associée serait rock'n' roll.

Prenez la théorie des groupes et écrivez les axiomes qui permettent de définir les prédicats unaires pour tous les types de groupes connus, chaque "groupe" serait en fait le collage artificiel (une union disjointe) de tous les groupes existants (au moins pour un cardinal donné) ; quel serait l'intérêt d'une telle complexité (artificielle en plus) ?

Mais que peut-on définir d'autre que des propriétés ? Qu'y a-t-il à part elles ?

AU niveau syntaxique : rien !

[invite4ef352d8]

A titre personnel, et pour éviter plein de confusions, je me méfie de ce vocabulaire (je ne l'aime pas), car "supposer vrai" cela suppose, philosophiquement, qu'il y a une autorité qui décide du vrai, ne nous laissant que la possibilité de le supposer.

Je sais ^^
Et je suis completement d'accord pour dire que cette terminologie est une abomination pour la logique. Mais bon, il faut reconnaitre pour les 95% de mathématiciens qui ne sont pas logiciens (et qui considère que "la théorie naive des ensembles" est un excellent modèle de ZFC) c'est quand même vachement pratique de pouvoir dire que quelque chose est "vrai".

[invite05799208]

Presque, la définition :
Cela obligeraient à définir des prédicats unaires pour définir les différents type de droites. Les écritures seraient abominablement compliquée, sans rien apporter. De plus la théorie des modèles associée serait rock'n' roll.

j'ai du mal à concevoir pourquoi ce serait plus compliqué que de jongler entre les divers systèmes axiomatiques. On pourrait se contenter de dire "une e-droite", ou encore de préciser au début de quelles droites dont on parle, quand il n'y a pas d'ambiguïté. Je ne vois pas spécialement en quoi ce serait moins clair ou plus difficile.
Également, il ne devrait plus y avoir besoin de la théorie des modèles...


Mais que peut-on définir d'autre que des propriétés ? Qu'y a-t-il à part elles ?

Au niveau syntaxique : rien !

Et au niveau sémantique ? Croyez-vous qu'il y ait autre chose ? (on s'avance un peu ontologiquement, là... mais cela me paraît évidemment nécessaire si l'on veut bien comprendre l'essence des choses)

[invite6754323456711]

j'


Mais que peut-on définir d'autre que des propriétés ? Qu'y a-t-il à part elles ?

Ce que j'ai pu lire :

D'après Pascal la "méthode idéale" , dans les sciences, consisterait à ne jamais utiliser un terme sans le définir, ni avancer une proposition sans la démontrer. Or une telle méthode est inapplicable en fait, puisqu’elle conduirait à une régression à l’infini : un terme est défini à partir d’autres termes, et une proposition démontrée à partir d’autres propositions.

De là la nécessité de recourir à la méthode axiomatique ; les termes définis le sont à partir de termes primitifs (non définis) et les théorèmes sont démontrés à partir d’axiomes.

En passant de la méthode idéale à la méthode axiomatique nous avons dû non seulement renoncer à une forme de perfection, mais surtout nous avons changé notre conception de la rigueur. Dans l’esprit de la méthode idéale, en effet, être rigoureux c’était n’avoir aucun présupposé, tous les éléments intervenant dans la théorie ayant été justifiés. Mais la méthode axiomatique n’exclut pas les présupposés ; et elle admet que la rigueur ne consiste pas à ne pas en avoir, mais à les expliciter tous.

Patrick

[Médiat]

j'ai du mal à concevoir pourquoi ce serait plus compliqué que de jongler entre les divers systèmes axiomatiques.

Essayer de répondre à ma question précédente, et je pense que vous aurez une réponse.

Également, il ne devrait plus y avoir besoin de la théorie des modèles...

Ah bon ? Vous pensez qu'avec votre méthode il n'y aurait qu'un seul modèle pour toutes les théories mathématiques, ce qui résuirait son intérêt à 0, c'est cela ?

Et au niveau sémantique ? Croyez-vous qu'il y ait autre chose ? (on s'avance un peu ontologiquement, là... mais cela me paraît évidemment nécessaire si l'on veut bien comprendre l'essence des choses)

Je ne comprends plus vous disiez qu'il n'y avait plus besoin de théorie des modèles, qui est justement le pendant sémantique de l'axiomatique.

[invite05799208]

Essayer de répondre à ma question précédente, et je pense que vous aurez une réponse.

A propos des groupes, je ne vois pas exactement de quoi vous voulez parler.
En tous les cas, j'imagine que les propriétés qu'ils décrivent ont bien dû être reformulées dans la théorie des ensembles (c'est un peu son but), et cette fois-ci sous forme de simples définitions... (http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...utre_structure ?)
D'ailleurs, sur wikipedia, les seuls axiomes de groupes dont il est question sont, justement, dans le paragraphe "définition"...

Ah bon ? Vous pensez qu'avec votre méthode il n'y aurait qu'un seul modèle pour toutes les théories mathématiques, ce qui résuirait son intérêt à 0, c'est cela ?

Je ne comprends plus vous disiez qu'il n'y avait plus besoin de théorie des modèles, qui est justement le pendant sémantique de l'axiomatique.

Je pense qu'il n'y a pas besoin de la notion de "modèle" pour donner du sens à une théorie. Les définitions peuvent être en elles-mêmes génériques, et être "appliquées" à divers objets de l'esprit qui partagent des attributs communs.
Par exemple, si je définis le phénomène physique de résonance, je peux le retrouver dans beaucoup de situations, à beaucoup d'échelle... Mais la définition de la résonance, qui parle de l'essence de ce qu'on entend par "résonance", reste bien la même à chaque fois (elle est générique). C'est un exemple concret, mais il en est de même avec les raisonnements un peu plus abstraits (purement mathématiques).
Du moins, c'est mon point de vue. Je suis peut-être passé à côté du vrai but de la théorie des modèles...

Ce que j'ai pu lire :
D'après Pascal la "méthode idéale" , dans les sciences, consisterait à ne jamais utiliser un terme sans le définir, ni avancer une proposition sans la démontrer. Or une telle méthode est inapplicable en fait, puisqu’elle conduirait à une régression à l’infini : un terme est défini à partir d’autres termes, et une proposition démontrée à partir d’autres propositions.

Quid du dictionnaire, qui s'occupe pourtant bien de définir chaque mot, en fonction des autres !?
Car je le répète, il n'y a rien de fixe (pas de choses "d'où l'on peut partir") dans la connaissance, qui n'est que l'ensemble des liens entre les concepts. La connaissance se créé par tous les rapports qu'ont entre elles les définitions (qu'elles soient formelles ou intuitives - on parlera alors de représentations).
Le sujet a fait, empiriquement, par tâtonnements, le lien entre les mots définis qu'il a appris et ses perceptions sensorielles, accédant à un niveau d'abstraction de plus en plus élevé. L'abstraction ultime étant les formalismes mathématiques (qui, cependant, ont quand même du sens pour celui qui a appris à en voir la signification - mais je m'éloigne du sujet...)


Je ne sais pas si je suis très clair, il est un peu tard

[Médiat]

A propos des groupes, je ne vois pas exactement de quoi vous voulez parler.

Vous avez écrit :

Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire des théories axiomatiques distinctes et indépendantes... Pourquoi ne pas simplement faire une théorie unique, où la droite d'Euclide et celle de des espaces hyperboliques portent simplement des noms différents, mais cohabitent ?

Pourquoi se restreindre à la géométrie, et pourquoi ne pas faire une seule théorie pour tous les langages ? J'ai pris l'exemple des groupes car il est "simple", mais si vous préférez la géométrie, allez-y, mais en considérant les variations possibles sur chaque axiome et pas seulement celui des parallèeles.

En tous les cas, j'imagine que les propriétés qu'ils décrivent ont bien dû être reformulées dans la théorie des ensembles (c'est un peu son but), et cette fois-ci sous forme de simples définitions... (http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...utre_structure ?)
D'ailleurs, sur wikipedia, les seuls axiomes de groupes dont il est question sont, justement, dans le paragraphe "définition"...

Et ?
Je vous rappelle une partie de mon message #2 :

En tout état de cause l'ensemble des axiomes d'une théorie forment la "définition" de cette théorie.

Je pense qu'il n'y a pas besoin de la notion de "modèle" pour donner du sens à une théorie. Les définitions peuvent être en elles-mêmes génériques, et être "appliquées" à divers objets de l'esprit qui partagent des attributs communs.

Je ne vois aucune mathématique dans ce paragraphe !

Par exemple, si je définis le phénomène physique de résonance, je peux le retrouver dans beaucoup de situations, à beaucoup d'échelle... Mais la définition de la résonance, qui parle de l'essence de ce qu'on entend par "résonance", reste bien la même à chaque fois (elle est générique). C'est un exemple concret, mais il en est de même avec les raisonnements un peu plus abstraits (purement mathématiques).

Que voulez-vous dire ? Que chaque groupe est un groupe mais n'est pas l'essence de la groupitude ? Ben oui, c'est le principe de ce que l'on appelle la méthode axiomatique.

Du moins, c'est mon point de vue. Je suis peut-être passé à côté du vrai but de la théorie des modèles...

Peut-être.

Quid du dictionnaire, qui s'occupe pourtant bien de définir chaque mot, en fonction des autres !?

Voulez-vous parler d'un dictionnaire dont chaque mot serait défini exclusivement à l'aide des mots précédemment définis ?

Car je le répète, il n'y a rien de fixe (pas de choses "d'où l'on peut partir") dans la connaissance, qui n'est que l'ensemble des liens entre les concepts. La connaissance se créé par tous les rapports qu'ont entre elles les définitions (qu'elles soient formelles ou intuitives - on parlera alors de représentations).
Le sujet a fait, empiriquement, par tâtonnements, le lien entre les mots définis qu'il a appris et ses perceptions sensorielles, accédant à un niveau d'abstraction de plus en plus élevé. L'abstraction ultime étant les formalismes mathématiques (qui, cependant, ont quand même du sens pour celui qui a appris à en voir la signification - mais je m'éloigne du sujet...)

Et ? Quel rapport avec votre proposition de n'avoir qu'une seule théorie par langage (et d'ailleurs, pour quoi ne pas faire qu'un seul langage ?).

Vous avez posé une question à votre message #3 :

Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire des théories axiomatiques distinctes et indépendantes... Pourquoi ne pas simplement faire une théorie unique, où la droite d'Euclide et celle de des espaces hyperboliques portent simplement des noms différents, mais cohabitent ?

Puis vous défendez cette idée et vous précisez :

Également, il ne devrait plus y avoir besoin de la théorie des modèles...

C'est évidemment votre droit le plus strict, mais jusqu'à présent, je n'y vois que des inconvénients, mais si vous voulez que cette idée ait du succès, il va vous falloir prouver son intérêt.

[invite05799208]

Pourquoi se restreindre à la géométrie, et pourquoi ne pas faire une seule théorie pour tous les langages ? J'ai pris l'exemple des groupes car il est "simple", mais si vous préférez la géométrie, allez-y, mais en considérant les variations possibles sur chaque axiome et pas seulement celui des parallèeles.

Je ne crois pas que faire des variations sur tous les axiomes de la géométrie soit moins éprouvant que le faire sur les définitions qu'ils représentent. Cela me paraît équivalent :
Au lieu de multiplier les théories (morcelant la connaissance), on multiplie les définitions, tout en restant dans la théorie unique.

Je ne vois aucune mathématique dans ce paragraphe !

Il est souvent dit (mais c'est sans doute une analogie douteuse plus qu'autre chose) que "la réalité" est l'unique modèle des théories physiques... ce à quoi je n'adhère pas vraiment.

Que voulez-vous dire ? Que chaque groupe est un groupe mais n'est pas l'essence de la groupitude ? Ben oui, c'est le principe de ce que l'on appelle la méthode axiomatique.

Je voulais dire que l'axiome, une fois transformé en définition, n'a pas besoin de "modèle" pour prendre du sens...

Voulez-vous parler d'un dictionnaire dont chaque mot serait défini exclusivement à l'aide des mots précédemment définis ?

N'est-ce pas le cas ??
Les mots sont définis à l'aide des autres mots, qu'ils soient définis avant ou après... A la manière d'un grand réseau de connexions...
Analogie : Tiens, ça ressemble aux réseaux de nos neurones, d'où naît le savoir sur les choses.

C'est évidemment votre droit le plus strict, mais jusqu'à présent, je n'y vois que des inconvénients, mais si vous voulez que cette idée ait du succès, il va vous falloir prouver son intérêt.

C'était surtout pour savoir si c'était bien envisageable - malgré les inconvénients qu'on y trouvera.
Je remarquerai au passage que jadis, on expliquait les choses en disant que tout était composition des 4 éléments (feu, eau, terre, air), et c'était plus simple ainsi. Mais si on a généralisé la matière en inventant les atomes dont elle est seulement composée, c'est pour avoir une théorie plus générale et parcimonieuse et donc plus puissante (et aussi plus adaptée), même si ça compliquait quelque peu la chose...

Je terminerai en disant que les théories axiomatiques, comme je l'ai peut-être déjà fait remarquer, sont finalement bien paradoxales, puisqu'elles utilisent dans leurs axiomes des mots qui ne sont pas forcément préalablement définis de façon claire, à commencer par celui d'existence, ou encore d'ensemble...

[Médiat]

C'était surtout pour savoir si c'était bien envisageable

Non ! Ou alors prouvez le !

[invite05799208]

Non ! Ou alors prouvez le !

Si vous laissez la possibilité que je le prouve, c'est bien que vous n'avez pas prouvé le contraire, alors pourquoi s'exclamer "Non !" ?

Comment estimez-vous que cela doive se prouver ?

L'établissement d'un formalisme ne se basant que sur les définitions et retrouvant l'ensemble des connaissances mathématiques suffirait-il ?

[invite6754323456711]

Quid du dictionnaire, qui s'occupe pourtant bien de définir chaque mot, en fonction des autres !?

Il ne peut se terminer que par une auto-référence non ?. De plus le langage naturel accepte l'ambiguïté, ce qui n'est pas le cas d'un langage formel qui cherche à l'élimer.

Appliquer par exemple le raisonnement par récurrence en langage naturel conduit à des incohérences.

* un grain isolé ne constitue pas un tas.
* l'ajout d'un grain ne fait pas d'un non-tas, un tas.

On en déduit que

* l'on ne peut constituer un tas par l'accumulation de grains.

d'ou l'emploi de la logique floue.

Patrick

[invite05799208]

Il ne peut se terminer que par une auto-référence non ?. De plus le langage naturel accepte l'ambiguïté, ce qui n'est pas le cas d'un langage formel qui cherche à l'élimer.

Il y a des auto-références, bien sûr. Mais elles dépassent le "Qu'est-ce qu'être affamé ? C'est avoir faim. Qu'est-ce qu'avoir faim ? C'est être affamé... etc.", qui est une auto-référence close. Dans le dictionnaire, chaque mot est interconnecté avec tous les autres par les définitions, ce qui créé un ensemble cohérent et rationnel. Et pour l'homme, les objets ont des correspondances intuitives avec ce qu'il a expérimenté (par ses perceptions), donc ont du sens.

* un grain isolé ne constitue pas un tas.
* l'ajout d'un grain ne fait pas d'un non-tas, un tas.

On en déduit que

* l'on ne peut constituer un tas par l'accumulation de grains.

d'ou l'emploi de la logique floue.

Patrick

Tu n'as simplement pas défini clairement les objets de tes réflexions !
Qu'appelles-tu un tas ? Si c'est un assemblage de grains, si petit soit-ils (2 grains), alors le raisonnement aboutit à la possibilité de constituer un tas par assemblage de grains.
Si en revanche tu définis qu'un tas est un tas à partir de n grains, alors ton hypothèse de récurrence est fausse : "l'ajout d'un grain ne fait pas d'un non-tas, un tas.", puisque l'ajout d'un grain à un ensemble de (n-1) grains en fera, par définition, un tas.

Qui a parlé de logique floue ?

Dès lors qu'on définit clairement et s'en remet à la logique mathématique, alors il n'y a rien de flou (et pas besoin d'axiomes pour ça !).

[invite6754323456711]

Tu n'as simplement pas défini clairement les objets de tes réflexions !

Si je suis ta logique

Et pour l'homme, les objets ont des correspondances intuitives avec ce qu'il a expérimenté (par ses perceptions), donc ont du sens.

J'en ai pas besoin. Il suffit d'ouvrir un dictionnaire.

Patrick

[invite05799208]

Si je suis ta logique

J'en ai pas besoin. Il suffit d'ouvrir un dictionnaire.

Patrick

Il y a le "sens" rationnel, celui du formalisme, représenté par la définition mathématique, et le "sens" que l'objet a aux yeux du sujet, déterminé par les connexions de ses représentations mentales entre elles et avec les perceptions sensorielles (on parle de deux concepts différents, qu'il ne faut pas confondre).
Mais en disant cela on s'avance en dehors des maths, et on n'est pas ici pour parler d'épistémologie.

[Médiat]

Si vous laissez la possibilité que je le prouve, c'est bien que vous n'avez pas prouvé le contraire, alors pourquoi s'exclamer "Non !" ?

Je n'ai pas à prouver le contraire, c'est votre proposition, pas la mienne : à vous de prouver la supériorité de votre vision.

Comment estimez-vous que cela doive se prouver ?

Je vous l'ai déjà dit, donnez-nous l'ensemble des définitions qui feront que chaque groupe se trouvera "inclus" dans votre théorie par le seul jeu des définitions de chaque "élément".

L'établissement d'un formalisme ne se basant que sur les définitions et retrouvant l'ensemble des connaissances mathématiques suffirait-il ?

Si vous y tenez, mais commencez-donc par les groupes, et pour vous mettre sur une piste envisagez, pour commencer simplement, la distinction entre groupes de torsion et sans torsion, par le seul jeu des définitions (on verra les groupes de Lie après).

[invite6754323456711]

Il y a le "sens" rationnel, celui du formalisme, représenté par la définition mathématique, et le "sens" que l'objet a aux yeux du sujet, déterminé par les connexions de ses représentations mentales entre elles et avec les perceptions sensorielles (on parle de deux concepts différents, qu'il ne faut pas confondre).
Mais en disant cela on s'avance en dehors des maths, et on n'est pas ici pour parler d'épistémologie.

Je ne confond rien, c'est toi qui à choisi comme argument de faire l'analogie avec le dictionnaire est donc le langage courant.

Je cherche juste à dérouler ton raisonnement pour identifier les incohérences.

Pour le reste nous sommes toujours dans l'expectative d'une preuve mathématique de tes affirmations.

Patrick

[invite05799208]

Je n'ai pas à prouver le contraire, c'est votre proposition, pas la mienne : à vous de prouver la supériorité de votre vision.

Il ne s'agissait pas de supériorité mais de savoir si c'était envisageable (j'entends par envisageable : théoriquement possible). A quoi vous avez dit "Non !" sans le prouver.
Mais je comprends que par là vous vouliez signifier qu'il fallait que je le prouve si je voulais l'affirmer.

Définition [Groupe de torsion]

Un élément d'un groupe est dit élément de torsion s'il est d'ordre fini.

Un groupe abélien est dit de torsion si tous ses éléments sont d'ordre fini.

http://www.les-mathematiques.net/b/c/a/node21.php3

Est-ce bien de cela que vous parlez ? Dans ce cas, voilà une définition en bonne et due forme.


Par ailleurs, comme je l'ai déjà dit, il me semble que grâce à la théorie des ensembles, on s'occupe de tout redémontrer en partant des seuls axiomes ensemblistes.

Dès lors, si je convertis les axiomes ensemblistes en définitions, alors le reste du travail devrait être déjà fait (puisque tous les objets de tous les champs des mathématiques ont été exprimés en tant qu'ensembles)...

Le bourbakisme est un courant de pensée, qui tire son nom de Nicolas Bourbaki, et qui tend à formaliser et unifier les mathématiques au sein de la théorie des ensembles.

[...]

On peut aujourd'hui formaliser toutes les mathématiques connues au sein de la théorie des ensembles. Pour cela il a fallu attendre 1920 et la forme actuelle de la théorie des ensembles. Auparavant les mathématiques étaient constituées de plusieurs disciplines assez indépendantes (géométrie, analyse, algèbre, ...). De plus, jusqu'au XIXe siècle, elles n'étaient pas formalisées de façon complètement satisfaisante.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bourbakisme

[Médiat]

Est-ce bien de cela que vous parlez ? Dans ce cas, voilà une définition en bonne et due forme.

Non, je parle de votre proposition de remplacer toutes les théories de groupes possibles par une seule théorie avec plein de définitions, je répète : faites-le, pour l'instant, vous n'avez même pas commencé.

Par ailleurs, comme je l'ai déjà dit, il me semble que la théorie des ensembles s'occupe de tout redémontrer en partant des seuls axiomes ensemblistes.
Dès lors, si je convertis les axiomes ensemblistes en définitions, alors le reste du travail est déjà fait (puisque tous les champs des maths ont été exprimés en tant qu'ensembles)..?

Faites (mais cela risque d'être beaucoup plus compliqué que le petit exemple que je vous demande déjà depuis presqu'une semaine, et que vous n'avez toujours pas entamé, vous allez finir par vous décrédibiliser) ! Et n'oubliez pas d'ajouter le cas des groupes qui ne sera, alors, plus qu'un petit cas particulier.

[invite05799208]

Non, je parle de votre proposition de remplacer toutes les théories de groupes possibles par une seule théorie avec plein de définitions, je répète : faites-le, pour l'instant, vous n'avez même pas commencé.

Je ne sais même pas exactement à quoi vous faites référence. Je dispose certes de connaissances limitées en groupes, mais lorsque je fais des recherches, je vois "la théorie des groupes", mais je ne vois nulle part la description d'une "multitude de théories" comme vous le laissez entendre.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%...ie_des_groupes


Ensuite, calmez-vous mon ami : En relisant mes messages, vous verrez que je n'ai jamais prétendu être en mesure personnellement de constituer une telle théorie unique.
Il s'agissait uniquement de savoir si c'était théoriquement possible, ce qui ne nécessite pas de le faire effectivement !

Je cite la suite de l'article déjà cité à propos du bourbakisme :

Il est possible de formaliser toutes les mathématiques connues, mais en général on ne le fait pas strictement et systématiquement, parce que ce serait beaucoup trop fastidieux, sauf éventuellement avec un assistant de preuve. Les démonstrations consistent en général à convaincre l'auteur et les lecteurs que l'on pourrait formaliser, si c'était nécessaire.

Maintenant, vous tentez de me convaincre (soit.) qu'une théorie générale serait trop difficile à mettre en place.

Mais le principal argument que vous donnez est que je ne l'ai pas encore fait (soyons honnête : j'ai beaucoup d'autres préoccupations, et je ne possède pas encore toutes les connaissances nécessaires).
Même je ne vois toujours pas en quoi une reformulation sous forme de définitions serait forcément extrêmement laborieuse (peut-être parce que je n'ai pas compris de quoi vous parlez), je veux bien vous croire (si cela vous fait plaisir).

[Médiat]

je vois "la théorie des groupes", mais je ne vois nulle part la description d'une "multitude de théories" comme vous le laissez entendre.

Ah mauvaise foi, quand tu nous tiens. Sur la page que VOUS avez donné, je vois :

Groupe abélien de type fini
Groupe abélien fini
Groupe algébrique
Groupe de Weyl

En cliquant sur "Groupe (mathématique)" sur la même page on voit :
Groupe abélien
Groupe cyclique
Groupe de Klein
Groupe de Lie
Groupe symétrique
Groupe simple

En cliquant sur groupe sporadique vous trouverez une nouvelle liste de 15 types de groupes.

Dans votre lien précédent il y avait aussi "Groupe de Torsion".

Mais le principal argument que vous donnez est que je ne l'ai pas encore fait

Faux, relisez-moi, je vous ai donné la raison première, et il y en aurait bien d'autres, mais :

j'ai beaucoup d'autres préoccupations

Moi aussi !

[inviteafa56da9]

Je reviens à la première question, car pour moi il y a bien une différence, très simple :

Une définition consiste à donner un nom à un objet (l'objet pouvant être une propriété par exemple). Dans la géométrie euclidienne, on appelle "droite" un ensemble de point qui a telles et telles propriétés.

Un axiome consiste à dire "il existe un objet avec telles et telles propriétés" par exemple (mais la phrase n'est pas forcément une quantification existentielle, on peut aussi avoir "tous les objets satisfaisant telle propriété satisfont telle autre propriété").

La confusion peut venir à mon sens du fait qu'on intègre souvant des définitions dans les axiomes (ce qui est bien entendu très pratique !) en disant par exemple : il existe un objet qu'on appelle droite et qui a telles et telles propriétés.

[invite7863222222222]

Je voulais dire que l'axiome, une fois transformé en définition, n'a pas besoin de "modèle" pour prendre du sens...

Il me semble que votre démarche soit intuitionniste (voir cet article intéressant de présentation), c'est à dire que vous voulez faire des mathématiques en exhibant le plus tôt possible la véracité des propositions, non définir des théories et ensuite poser des modèles "collant" à la théorie.

Mais pour argumenter votre idée de vous écarter du formalisme, il faut que vous fassiez une ébauche d'expression de ce qui vous dérange dans cette approche car sinon rien ne dit qu'en fait ce que vous proposez soit en fait exactement la même chose que la méthode formaliste.

[invite05799208]

Ah mauvaise foi, quand tu nous tiens. Sur la page que VOUS avez donné, je vois :
[...]

Mais, dans ces articles sur les groupes, il n'est pas fait référence à des axiomes particuliers, seulement au seul ensemble des axiomes du groupe.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique

Et encore, il est dit que l'objet "vérifie" les axiomes du groupe. Il serait absolument identique de dire, en changeant "axiome" par "définition" : "vérifie la définition du groupe"... Pas un gros travail donc.

En gros, je remplace "axiome" par "définition" dans les groupes et le tour est joué ; c'est juste une question de point de vue conceptuel, mais l'essence de la chose est conservée, donc elle n'est pas du tout à recréer de toutes pièces comme vous semblez le croire.
Il suffit d'avoir le pendant du formalisme axiomatique, mais qui fonctionne uniquement avec des définitions, et qui serait tout aussi rigoureux et "computable".

Il me semble que votre démarche soit intuitionniste (voir cet article intéressant de présentation), c'est à dire que vous voulez faire des mathématiques en exhibant le plus tôt possible la véracité des propositions, non définir des théories et ensuite poser des modèles "collant" à la théorie.

Mais pour argumenter votre idée de vous écarter du formalisme, il faut que vous fassiez une ébauche d'expression de ce qui vous dérange dans cette approche car sinon rien ne dit qu'en fait ce que vous proposez soit en fait exactement la même chose que la méthode formaliste.

Il y a peut-être des points communs avec l'intuitionnisme. Je citerai aussi la déduction naturelle http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9duction_naturelle.

En tous les cas, je n'ai jamais parlé d'abandonner la méthode formelle, juste de la possibilité théorique de modifier quelque peu le formalisme axiomatique pour le rendre plus cohérent et unifié.

[invite6754323456711]

En gros, je remplace "axiome" par "définition" dans les groupes et le tour est joué ; c'est juste une question de point de vue conceptuel, mais l'essence de la chose est conservée, donc elle n'est pas du tout à recréer de toutes pièces comme vous semblez le croire.
Il suffit d'avoir le pendant du formalisme axiomatique, mais qui fonctionne uniquement avec des définitions, et qui serait tout aussi rigoureux et "computable".

Tu sembles aller plus loin encore

Également, il ne devrait plus y avoir besoin de la théorie des modèles...

En disant que t'on approche basée uniquement sur des définitions unifierait l'approche syntaxique et sémantique.

Le travail de Tarski a permis de rendre la notion de vérité pour les langages logiques mathématiquement précise. Étant donnés une formule logique et un modèle, la question de savoir si cette formule affirme quelque chose de vrai quant à ce modèle n’est plus sujette à discussions, c’est devenu une question mathématiquement précise.

Que redevient la notion de vérité dans t'on approche ?

Patrick