Axiomes ou définitions ?

[invite7863222222222]

En tous les cas, je n'ai jamais parlé d'abandonner la méthode formelle, juste de la possibilité théorique de modifier quelque peu le formalisme axiomatique pour le rendre plus cohérent et unifié.

D'accord, mais remplacer les axiomes par des définitions, cela revient à pouvoir dévoiler toutes les mathématiques dans un gigantesque livre sans doute infini car il y a autant (une infinité surement) de définitions possibles qu'il y a de choses auxquelles on souhaite s'intéresser dans les mathématiques. Si vous pensez qu'il existe un nombre restreint de définitions sur lesquelles reposent les mathématiques, alors ces définitions ne seraient alors en fait rien d'autres que des axiomes.

Le système axiomatique permet un découpage des mathématiques pour mieux se les approprier, je ne pense pas que ce que vous proposez puisse mieux organiser la connaissance mathématique.
-----

[Médiat]

Mais, dans ces articles sur les groupes, il n'est pas fait référence à des axiomes particuliers, seulement au seul ensemble des axiomes du groupe.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_alg%C3%A9brique

Et encore, il est dit que l'objet "vérifie" les axiomes du groupe. Il serait absolument identique de dire, en changeant "axiome" par "définition" : "vérifie la définition du groupe"... Pas un gros travail donc.

En gros, je remplace "axiome" par "définition" dans les groupes et le tour est joué ; c'est juste une question de point de vue conceptuel, mais l'essence de la chose est conservée, donc elle n'est pas du tout à recréer de toutes pièces comme vous semblez le croire.

Je réitère une dernière fois, parce que décidément, j'ai mieux à faire :
Si vous n'avez pas vu les définitions des goupres cycliques, de torsion etc., il vous faut absolument faire un effort d'attention, votre mauvaise foi se voit trop : elles sont toutes en lien (au pire de niveau 2) sur la page que vous avez donnée.

Mais le fond du problème c'est que vous proposez de n'avoir qu'une seule théorie unifiée, je veux bien être gentil et considérer qu'il s'agit d'une théorie unifiée par langage, exemple théorie des groupes (si vous préférez les théories des ensembles, cela me va très bien) et que seule la "définition" applicable aux éléments manipulés fait la distinction (vous avez pris l'exemple de droites euclidiennes et de droites hyperboliques (et sans doute elliptiques), je vous ai dit dès le début que cela va horriblement compliquer les choses, et c'est sans doute vrai puisque vous n'arrivez pas à le faire, puisque cela obligera à préciser dans chaque théorème, chaque démonstration, chaque quantification, l'ensemble des propriétés des éléments à prendre en compte, et, degré de complexité supplémentaire, certaines de ces propriétés mettent en cause, non pas un élément, mais tous les éléments : comment faites-vous pour résoudre ce problème ?

A moins que vous ne donniez une réponse constructive (même si vous ne prenez en compte qu'un dizaine de types de groupes et non tous, cela m'ira très bien, même si vous oubliez les magmas, les monoïdes, les demi-groupes etc.), je ne vous répondrai plus, je perds mon temps !