Approcher une quantité (analyse numérique)

[invite4308cf33]

Bonsoir.

Soit f une fonction de classe C3 sur [a,b] et c=(a+b)/2. On cherche à approcher la quantité d(f)=f''(c) par une expression de la forme :

(1)

qui soit telle que pour tout polynôme Q de degré inférieur ou égal à 2.

1. Montrer qu'il existe , , telles que la propriété (1) soit vérifiée.

2. Montrer, avec les valeurs trouvées en 1., que la différence divisée de f aux points {a,c,b} vérifie .

Je commence l'analyse numérique et j'aimerais savoir quelles méthodes numériques il faut employer pour résoudre ce début d'exercice, merci d'avance...
Bonne soirée !
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[invite23cdddab]

On veux que P''(c) = delta(P) pour tout polynôme de degré (au plus) 2

Alors on veut montrer qu'il existe lambda_0, lambda_1 et lambda_2 réels tels que pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ai

P''(c) = \lambda_0 P(a) + \lambda_1 P(c) + \lambda_2 P(b)

C'est à dire, quelque soit les réels u,v,w, on ai



On a alors affaire à un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues :

(équation donnée par la dépendance en u)
(équation donnée par la dépendance en v)
(équation donnée par la dépendance en w)

Reste à montrer que ce système admet une solution

[invite4308cf33]

Merci, c'est très clair !
Du coup pour répondre à la question 1., j'ai trouvé, je ne mets pas les détails :

(d'après la troisième équation)
(d'après la deuxième équation)





J'espère ne pas m'être trompée, c'est bien cela ?

Pour la deuxième question, je suis allée voir ce qu'était la différence divisée. Il faut ici montrer que

Pour commencer, est-ce qu'on a bien ?

[invite4308cf33]

Up ! Ou alors en remplaçant P par f ?

[A voir en vidéo sur Futura]