Calcul d'écart-type

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je voudrais poser une question simple mais où le doute peut résider dans les termes.
Soit l'hypothèse :

soit x_1, ... x_N, N tirages aléatoires de même loi.
On appelle M_N = \frac{1}{N} \sum{i=1}^N x_i la moyenne arithmétique de ces tirages.

Soit l'opération à effectuer :

Pour chaque x_i, on calcule la différence à la moyenne.
On calcule l'écart type : racine carrée de la somme de ces différences au carré, divisée par N;

Et la réponse :

100000 tirages à Pile ou Face. Résultat 50124 Pile et 49876 Face.

Ma question que vaut l'écart-type ?
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[invite23cdddab]

Pile et face n'étant pas des nombres, ni les notions de moyenne ni d'écart type n'ont de sens à priori.

Alors bien-sur, on peut toujours associer des nombres à pile et à face, et calculer la moyenne et l'écart type de ces nombres, mais la moyenne et l'écart type va dépendre du choix que l'on fait pour ces nombres.

Quelle est donc ta vraie question?

[Dlzlogic]

Ma vraie question c'est sur le sens des termes :
Expérience ?
Moyenne ?
Ecart-type ?

Si on tire à pile ou face, le seul intérêt en mathématiques et en probabilité est le nombre de P et de F, la succession de P (resp F).
Si on prend un dé à 24 faces, on aura le même type d'expérience, mais 24 issues possibles au lieu de 2.
Tous les cours de proba ou presque démarrent de pile ou face ou d'un dé à 6 face. Quelques-une seulement parlent de mesures (poids, ou intensité ou longueur) ou de tir sur cible.
Je serai encore plus précis dans ma question : on étudie les probabilité dans un but d'apprentissage de l'abstraction ou parce que cela concerne le monde réel. L'EN a bien répondu, mais des fois j'ai des doutes.

Tu parles de "choix pour ces nombres" de quel choix s'agit-il ? Est-ce un choix entre 2 possibilités, ou est-ce un choix parmi un très grand nombre de possibilités, puisque le "problème serait mal posé" ?
Un jour, tu m'as posé la question "et si c'est pas ça ?" je t'ai répondu par MP, mais il n'y a pas eu de suite. De toute façon, tant que tu n'auras pas fait la simulation, tu pourras toujours dire que c'est pas vrai.

[invite0b618583]

Il y a eu modifications des messages, il s'agissait de 100 000 tirages indépendant de loi de Bernoulli de paramètre 1/2, qui ont donc produit 50124 zéros et 49 876 uns.
C'est bien pratique de modifier après coup...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8a1b1525]

Ma question que vaut l'écart-type ?

...et avant cela, que vaut la moyenne ??

[invite8a1b1525]

Ma vraie question c'est sur le sens des termes :
Expérience ?
Moyenne ?
Ecart-type ?

tu veux des définitions mathématiques ? Tu devrais les connaitre...

Si on tire à pile ou face, le seul intérêt en mathématiques et en probabilité est le nombre de P et de F, la succession de P (resp F).
Si on prend un dé à 24 faces, on aura le même type d'expérience, mais 24 issues possibles au lieu de 2.
Tous les cours de proba ou presque démarrent de pile ou face ou d'un dé à 6 face. Quelques-une seulement parlent de mesures (poids, ou intensité ou longueur) ou de tir sur cible.
Je serai encore plus précis dans ma question : on étudie les probabilité dans un but d'apprentissage de l'abstraction ou parce que cela concerne le monde réel. L'EN a bien répondu, mais des fois j'ai des doutes.

Tes questions ne relèvent pas des sciences techniques mathématiques.

Tu parles de "choix pour ces nombres" de quel choix s'agit-il ? Est-ce un choix entre 2 possibilités, ou est-ce un choix parmi un très grand nombre de possibilités, puisque le "problème serait mal posé" ?
Un jour, tu m'as posé la question "et si c'est pas ça ?" je t'ai répondu par MP, mais il n'y a pas eu de suite. De toute façon, tant que tu n'auras pas fait la simulation, tu pourras toujours dire que c'est pas vrai.

????????

[invite0b618583]

Le problème je pense est que tu ne comprends pas que quand j'écris

x_1, ... x_N, N tirages aléatoires de même loi.

sur lesquels il faudra calculer une moyenne et un écart-type cela signifie bien que x_1, ... x_N, sont N tirages aléatoires à valeurs réelles de même loi.
on peut donc définir leur moyenne arithmétique M_N = \frac{1}{N} \sum{i=1}^N x_i
les écarts à cette moyenne e_i = x_i - M_N
etc...

[Dlzlogic]

Bonsoir Tryss,

Pile et face n'étant pas des nombres, ni les notions de moyenne ni d'écart type n'ont de sens à priori.

Alors bien-sur, on peut toujours associer des nombres à pile et à face, et calculer la moyenne et l'écart type de ces nombres, mais la moyenne et l'écart type va dépendre du choix que l'on fait pour ces nombres.

Quelle est donc ta vraie question?

Ci-dessous, ma réponse à ton intervention.

Ma vraie question c'est sur le sens des termes :
Expérience ?
Moyenne ?
Ecart-type ?

Si on tire à pile ou face, le seul intérêt en mathématiques et en probabilité est le nombre de P et de F, la succession de P (resp F).
Si on prend un dé à 24 faces, on aura le même type d'expérience, mais 24 issues possibles au lieu de 2.
Tous les cours de proba ou presque démarrent de pile ou face ou d'un dé à 6 face. Quelques-une seulement parlent de mesures (poids, ou intensité ou longueur) ou de tir sur cible.
Je serai encore plus précis dans ma question : on étudie les probabilité dans un but d'apprentissage de l'abstraction ou parce que cela concerne le monde réel. L'EN a bien répondu, mais des fois j'ai des doutes.

Tu parles de "choix pour ces nombres" de quel choix s'agit-il ? Est-ce un choix entre 2 possibilités, ou est-ce un choix parmi un très grand nombre de possibilités, puisque le "problème serait mal posé" ?
Un jour, tu m'as posé la question "et si c'est pas ça ?" je t'ai répondu par MP, mais il n'y a pas eu de suite. De toute façon, tant que tu n'auras pas fait la simulation, tu pourras toujours dire que c'est pas vrai.

Naturellement, je sais définir ces termes, mais il semble qu'il y ait un certain flou pour certains intervenants, peut-être une confusion entre la valeur d'un résultat isolé d'un tirage et le nombre d'occurrences d'apparition de cette valeur. Par exemple,avec un dé à 6 faces, on ne s'intéresse pas au nombre de taches placés sur la face supérieure, mais au nombre de fois que le dé tombe avec cette face-là au-dessus.

[invite0b618583]

Alors reprenons les bases des bases :

Dans le cas d'un lancé de dé à 6 faces (appelons les avec des lettres) en général on va poser :
l'univers Omega = {A,B,C,D,E,F} (chaque lettre correspond à une face).
La proba P est une fonction de Omega dans [0,1] (dont la somme des valeurs vaut 1).
Si le dé est équilibré alors P(A) = P(B) = ... = P(F) = 1/6

Une variable aléatoire à valeurs réelles est une fonction de Omega vers R. Par exemple on peut définir X(A) = 1, X(B) = 2 etc...

L'espérance, la variance, l'écart-type etc sont définie pour des variables aléatoires à valeurs réelles.

je sais définir ces termes

Je serais curieux de voir une définition d'une espérance d'une variable aléatoire qui a pour valeur "pile" ou "face"

Par exemple,avec un dé à 6 faces, on ne s'intéresse pas au nombre de taches placés sur la face supérieure, mais au nombre de fois que le dé tombe avec cette face-là au-dessus.

Ah bon ? Et depuis quand devrait-on se restreindre au nombre de sortie d'une face particulière ?
Et si je regarde la durée de vie d'une ampoule, je m'intéresse à quoi ?

P.S: pour information une variable de Bernoulli c'est une variable qui vaut 0 ou 1 (pas "pile" ou "face") cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Bernoulli (ou n'importe quel livre de proba).

[Dlzlogic]

@feanorel,
Ta remarque :

Ah bon ? Et depuis quand devrait-on se restreindre au nombre de sortie d'une face particulière ?

Deux choses, Tryss m'a posé une question, j'y ai répondu, il a posé une autre question, celle là je n'a l'ai pas comprise.
Puis, je réponds à ta question : en aucun cas il ne s'agit de se restreindre au nombre de sorties d'une face particulière, mais d'étudier la répartition du nombre de sorties de chacune des faces.
Pour un dé à 6 faces, c'est déjà caractéristique. Pour un "dé" à 100 faces c'est beaucoup plus clair, encore faut-il faire l'expérience. C'est exactement ce que j'ai demandé à Tryss. Pour mémoire, Léon l'a faite.
Par ailleurs, pourquoi voudrais-tu donner un nom à une variable ? Le seul point important est que toutes les observations de l'expérience soient de même loi.

[invite0b618583]

Puis, je réponds à ta question : en aucun cas il ne s'agit de se restreindre au nombre de sorties d'une face particulière, mais d'étudier la répartition du nombre de sorties de chacune des faces.

Très bien. Donne nous ta définition de variable aléatoire.
Puis de l'espérance.

Pour un dé à 6 faces, c'est déjà caractéristique. Pour un "dé" à 100 faces c'est beaucoup plus clair, encore faut-il faire l'expérience.

Quelle expérience ? Si tu pouvais la définir précisément, puis définir précisément ce qu'on est censé voir peut-être qu'on s'en sortirais.

Pour mémoire la dernière que tu as donné était fausse.

Par ailleurs, pourquoi voudrais-tu donner un nom à une variable ?

Pour savoir de quoi on parle par exemple... Ainsi on peut donne des propriétés basique des proba, par exemple:
si X et Y sont deux variables aléatoires réelles intégrable alors
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
et si k est un réel
E[kX]=kE[X]
(linéarité de l'espérance).

(tout ceci se trouve dans les cours de proba de niveau première...)

Le seul point important est que toutes les observations de l'expérience soient de même loi.

ceci n'a pas de sens.

[Dlzlogic]

Bon, je vais essayer de répondre de la manière la plus rigoureuse possible.
La définition de variable aléatoire n'est pas très simple. On peut dire que c'est une variable qui ne dépend que du hasard. En fait quand on parle de variable aléatoire, on parle plutôt de fonction. C'est dans tous les cours mais ce n'est pas le problème.
Le vrai problème, ou plutôt la vraie définition que tu attends et qu'il est indispensable de préciser, est le terme "aléatoire". Il implique le hasard. Un cours qui ne peut pas être contesté emploie le terme "éventuel". Le hasard est à définir.
Jacques Harthong y a consacré un chapitre, donc il vaut mieux que tu t'y réfère. J'en tire juste une conclusion, c'est que le hasard est unique. Donc, le type de question "quel hasard" n'a pas de sens.
L'espérance est une notion parfaitement claire : c'est le produit de la probabilité de gain pas ce gain. S'il y a plusieurs variables, alors c'est la somme des probabilités élémentaires par le gain correspondant.
Si la somme des probabilités élémentaires est égale à 1, alors l'espérance est équivalente à la moyenne arithmétique. Là on approche un terrain difficile. Que vient faire la moyenne arithmétique, qui est en généralité une moyenne dépendant du poids (la probabilité) de chaque variable. C'est un peu court pour tout expliquer.
Ce qu'il faut savoir est que la moyenne arithmétique d'une série d'observations suivant les mêmes conditions est la valeur la plus probable de la valeur observée.
J'ai répondu en même temps à propos de l'espérance.

Tes dernières équations ne sont vraies que si le nombres de mesures (quelque soit le terme) est infini. Ce qui est impossible.
Manifestement, tu attends une simulation, ou un exemple. J'en ai déjà publié des quantités. L'une d'elle me parait particulièrement intéressante : on prend un très grand nombre, par exemple les décimales de pi (on en trouve de temps en temps ici et là). Dans un premier temps, on compte le nombre d'apparitions des chiffres 1 à 9, on vérifie facilement que la répartition des écarts à la moyenne suit la loi normale. Puis on considère la même liste et on fait le même calcul en base 100 et non plus en base 10. On observe la même chose.
Demain, je ferai à la demande toutes les simulations que l'on veut.
Pour terminer, je voudrais préciser que certaines affirmations (comprendre qualificatifs à mon égard) sont assez désagréables, surtout lorsqu'elle ne sont en aucun cas justifiées et bien-sûr non argumentées.

[Médiat]

Bonjour,

Dlzlogic, il est urgent que vous consultiez un manuel élémentaire de probabilité, votre dernier message démontre que vous n'avez pas le niveau que vous prétendez avoir.

Votre "Si la somme des probabilités élémentaires est égale à 1" me rappelle une copie d'un élève de 3ième qui, après avoir trouvé cos(x) = 1.4, avait écrit "Nous sommes dans le cas exceptionnel ou un cosinus est supérieur à 1" (et encore cet élève savait qu'il y avait quelque chose d'anormal)

En attendant : on ferme

Médiat, pour la modération