integrale et fonction

[inviteb18a98d4]

Bonjour,
J'ai un souci avec un exercice:

On définit la fonction f sur R\{1,-1} par : ∫ ln(x^2 - 2xcos(θ) +1) dθ (intégrale de 0 à pi)

6) Soit x appartenant à R\{1,-1}, montrer que f(x^2)=f(x) et justifier alors que pour tout n appartenant à N, f(x) = (1/2^n) * f(x^2^n)
Pour la premiere partie de la question, on me propose une méthode:

On developpe (x^2-2xcos(θ/2)+1)(x^2+2x(θ/2)+1); puis on trouve f(x^2)comme somme de deux intégrales et on y pratique les changements de variables u=θ/2 dans l'une et v= π-θ dans l'autre

J'ai essayé la méthode mais je n'arrive pas à aboutir. Je ne sais pas comment réutiliser le développement car f(x^2)= ∫ ln(x^4 - 2*x^2*cos(θ) +1) dθ


merci d'avance pour votre aide
-----

[AncMath]

Il serait criminel de ne pas remarquer que ceci t'assure que
et te donne le fait que est la somme des deux intégrales que te donne ton énoncé.

[inviteb18a98d4]

Merci beaucoup !!
Je bloque egalement sur la deuxième justification, un petit coup de pouce ne serait pas de refus

[AncMath]

Une justification pour un changement de variable affine ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb18a98d4]

Je veux dire que je ne vois pas par où passer pour justifier que pour tout n appartenant à N, f(x) = (1/2^n) * f(x^2^n)

[AncMath]

As-tu répondu à la première question ? Que trouves tu pour ?

[inviteb18a98d4]

Oui j'ai bien trouvé que f(x^2)=2f(x)
D'où f(x) = (1/2) * f(x^2)
Mais je dois justifier que f(x) = (1/2^n) * f(x^2^n) et je ne vois pas comment faire pour obtenir les ^n

[inviteb18a98d4]

Dois-je faire un raisonnement par récurrence ?

[AncMath]

Tu peux faire une récurrence oui. Mais pour quelques chose d'aussi évident tu peux simplement dire que

[inviteb18a98d4]

Oui mais on me demande de bien le justifier donc je pense qu'une recurrence est plus "propre".