Intégrale de fonction sin/cos/tan
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Intégrale de fonction sin/cos/tan



  1. #1
    invitef2853e5d

    Intégrale de fonction sin/cos/tan


    ------

    Bonjour,

    Voila mes problèmes, je cherche à intégrer la fonction tan(x) de -pi/2 à pi/2. Etant donné que l'intégrale de tan(x) est -ln(cos(x)), il semblerait qu'il n'existe pas de solution à cette intégrale n'est-ce pas? Si c'est le cas je suis bien embêté ^^

    Autre problème, je veux intégrer la fonction suvante f(x)=( sin^3(x)/cos(x)) de -pi/2 à pi/2
    En faisant une double IPP j'obtiens le résultat suivant
    I=-2+I, avec I la fonction à intégrer
    Est-ce que je me suis planté? ou est ce que cela veut dire qu'il n'y a tout simplement pas de solution?

    Merci beaucoup

    -----

  2. #2
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Pour info je cherche à calculer l'intégrale de
    tan(x)*(a-Sin(x))^2 de -pi/2 à pi/2
    avec "a" une constante

  3. #3
    369

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    pour f(x)=( sin^3(x)/cos(x))=sin²(x)(sinx/cosx)=(1-cos²(x)) x tan(x)

    c'est donc de la forme: u'u

    donc la primitive de f(x) est (1/2)(tan(x))²
    il te reste à calculer avec les bornes

  4. #4
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Effectivement je n'avais pas pensé à passé par là. Par contre, on est bien daccord que tan(pi/2)=infini n'est ce pas?

    Dans ce cas je ne peux pas intégrer non? Ou alors il faut que passe par une approximation numérique?

    En tout cas merci beaucoup

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    369

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    oublie ce que je viens de dire;
    c'est une bêtise

  7. #6
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Ah oui, je n'avais pas vérifié

    Merci quand même

  8. #7
    369

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    par contre
    (1-cos²(x)) x tan(x)=tan(x)-cosxsinx=tanx-(1/2)sin(2x)

    et d'après ton premier message tu connais apparemment la primitive de tangente qui est -ln(cos(x))
    et la primitive de (1/2)sin(2x) est -(1/4)cos(2x)

  9. #8
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Oui mais mon problème c'est que la primitive de tan(x) n'a pas de solution entre -pi/2 et pi/2. Je suis embêté parceque cela est basé sur un calcul de 1980. J'ai du mal à croire qu' a l'époque ils connaissaient matlab

  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par Leonpolou Voir le message
    Oui mais mon problème c'est que la primitive de tan(x) n'a pas de solution entre -pi/2 et pi/2. Je suis embêté parceque cela est basé sur un calcul de 1980. J'ai du mal à croire qu' a l'époque ils connaissaient matlab
    .

    bnjour,
    ben si ( et attention à ne pas confondre primitive et intégrale )
    pour l'intégrale :
    tu peux ecrire int(-pi/2;0) + int(0;pi/2) avec un petit changement de variable y=-x pour la première, les deux parties s'annulent.

  11. #10
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    .

    tu peux ecrire int(-pi/2;0) + int(0;pi/2) avec un petit changement de variable y=-x pour la première, les deux parties s'annulent.
    Ce raisonnement est valable si on veut définir par , mais il ne l’est plus si on cherche , ce qui est la façon habituelle de définir une intégrale convergente. Cette seconde limite n’existe pas, l’intégrale est divergente.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  12. #11
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Je n'arrive pas bien à comprendre la différence entre les deux formulations.
    Mais si on s'en tient à la seconde, l'intégrale diverge et n'admet donc aucune solution, c' est bien ça?

  13. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Ce raisonnement est valable si on veut définir par , mais il ne l’est plus si on cherche , ce qui est la façon habituelle de définir une intégrale convergente. Cette seconde limite n’existe pas, l’intégrale est divergente.
    je ne suis pas d'accord.
    l'int(-x;+x) de tan(t)dt vaut 0 quelquesoit x avec -pi/2<x<pi/2
    il n'y a pas un x et un y !

  14. #13
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je ne suis pas d'accord.
    l'int(-x;+x) de tan(t)dt vaut 0 quelquesoit x avec -pi/2<x<pi/2
    il n'y a pas un x et un y !
    Il y a un x et un y si je veux. Peut-être faudrait-il commencer par définir ce qu’on entend par intégrale sur un intervalle non compact ? C’est une notion un peu délicate et il y a plusieurs réponses possibles (fonctions sommables au sens de Lebesgue, intégrales impropres éventuellement semi-convergentes…). Si on intègre symétriquement par rapport à zéro, l’intégrale sur [-x;x] est toujours nulle et tend bien sûr vers 0. Mais ce n’est pas la seule façon d’envisager qu’un intervalle compact « tende » vers ]-pi/2;pi/2[, et, désolé de me répéter, selon la définition usuelle d’une intégrale convergente, l’intégrale proposée par le posteur original est divergente.

    Voir par exemple http://en.wikipedia.org/wiki/Improper_integral (l’article équivalent en français est trop pauvre quant à lui).

    Voir aussi http://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur_...pale_de_Cauchy pour l’idée d’intégrer symétriquement et de donner ainsi une valeur à l’intégrale.
    Dernière modification par DSCH ; 04/06/2011 à 19h36. Motif: ajout valeur principale de Cauchy
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  15. #14
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par Leonpolou Voir le message
    Je n'arrive pas bien à comprendre la différence entre les deux formulations.
    Mais si on s'en tient à la seconde, l'intégrale diverge et n'admet donc aucune solution, c' est bien ça?
    Dans la première formulation, les bornes tendent vers plus ou moin pi sur deux symétriquement par rapport à zéro : dans ce cas, l’intégrale est toujours nulle, et on a donc pour limite zéro. Dans la seconde formulation, les deux bornes tendent vers moins pi sur deux et plus pi sur deux indépendamment l’une de l’autre (pas forcément à la même vitesse), et là, on ne peut plus avoir de limite à tous les coups.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  16. #15
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Si on intègre symétriquement par rapport à zéro, l’intégrale sur [-x;x] est toujours nulle et tend bien sûr vers 0. Mais ce n’est pas la seule façon d’envisager qu’un intervalle compact « tende » vers ]-pi/2;pi/2[, et, désolé de me répéter, selon la définition usuelle d’une intégrale convergente, l’intégrale proposée par le posteur original est divergente.
    .
    je suis d'accord sur l'essentiel mais ...
    divergente ou indefinie ?
    ensuite rien ne precise au départ ]-pi/2;pi/2[ ou [-pi/2;pi2]

  17. #16
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je suis d'accord sur l'essentiel mais ...
    divergente ou indefinie ?
    ensuite rien ne precise au départ ]-pi/2;pi/2[ ou [-pi/2;pi2]
    La fonction tangente n’étant définie ni en -pi/2 ni en pi/2, il n’y a pas d’ambiguité. De toute façon, cela ne change rien au résultat, d’intégrer sur deux ensembles qui ne diffèrent que d’un ensemble de mesure nulle.

    Quant à la terminologie « intégrale divergente », elle est désuète mais traditionnelle. Je ne l’aime pas beaucoup et on tend à l’oublier quand on travaille avec l’intégrale de Lebesgue.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  18. #17
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    je persiste et signe.
    il s'agit bien d'une intégrale impropre mais convergente.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre

  19. #18
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je persiste et signe.
    il s'agit bien d'une intégrale impropre mais convergente.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre
    Désolé, mais cette page vous contredit. Elle ne traite pratiquement pas du problème qui nous préoccupe (présence de deux singularités), c’est pourquoi j’avais renvoyé à l’article en anglais. Maintenant, l’article français fait mention en quelques lignes du problème :
    On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont continues seulement sur . On dit alors que

    converge lorsque pour un arbitraire, les intégrales
    et
    convergent.
    De toute façon, Wikipédia n’est pas une preuve (l’article français est assez pauvre et par là même mauvais), je conçois que les différentes terminologies existantes (intégrales impropres, convergentes, fonctions intégrables, etc.) prêtent à confusion, mais je ne peux que maintenir que la définition usuelle d’une intégrale convergente (dite aussi intégrale généralisée de Riemann, qui n’est pas une « vraie » intégrale) est celle que j’ai donnée plus haut, et j’avoue avoir du mal à saisir la raison de votre obstination à vouloir changer cette définition pourtant assez standard.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  20. #19
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    ......
    .
    parceque je trouve le terme "divergente" trop flou et inapproprié.
    si vous dites vrai,à savoir qu'avec 2 singularités ,il n'y a plus d'intégrale impropre, alors je m'incline

  21. #20
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Bon si on s'en tient à la définition étant donné que l'on intègre sur [-pi/2;pi/2] il n'y a donc pas de solutions.
    Malgrès tout c'est un problème physique, et l'on peut aisément bidouiller la chose pour intégrer sur ]-pi/2;pi/2[. Dans ce cas on peut admettre zero comme étant une solution n'est-ce pas?

  22. #21
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par Leonpolou Voir le message
    Bon si on s'en tient à la définition étant donné que l'on intègre sur [-pi/2;pi/2] il n'y a donc pas de solutions.
    Malgrès tout c'est un problème physique, et l'on peut aisément bidouiller la chose pour intégrer sur ]-pi/2;pi/2[. Dans ce cas on peut admettre zero comme étant une solution n'est-ce pas?
    Non. Il n’y a aucune différence entre et du point de vue de l’intégration, le problème n’est pas là. Il vient du fait que n’admet pas de limite finie quand . Même problème en . La notion de convergence ou divergence est un problème local, c’est pour ça qu’on regarde les deux problèmes séparément. Je ne suis pas sûr que tu aies perçu que l’intégrale que tu souhaites calculer demande de déterminer une limite. Quel sens voudrais-tu donner à une intégrale , autre que ?

    En vérité, il y a ici deux limites à considérer séparément (la recherche de limite est un problème local), et la réponse « raisonnable » (en tout cas usuelle) est de dire que ces deux limites n’étant pa finies, cette intégrale n’existe pas.

    Maintenant, si on veut à tout prix lui donner un sens, l’idée naturelle est d’intégrer symétriquement comme suggéré plus haut dans ce fil, on peut alors convenir que l’intégrale vaut . Je ne dis pas que l’idée est stupide, elle n’est même pas nouvelle (voir la notion de valeur principale de Cauchy que j’ai mentionnée plus haut), mais il faut garder à l’esprit que si on élargit l’ensemble des fonctions qu’on peut intégrer avec ce genre d’idée, on est perdant par ailleurs : on n’aura plus les propriétés d’une « vraie » intégrale, à commencer par la relation de Chasles : pour tout , la relation

    est fausse, pour la bonne raison que les deux intégrales du membre de droite n’existent pas !

    C'est le même problème que si l’on voulait définir des opérations arithmétiques du genre , les règles de calcul habituelles ne seraient plus valables !
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  23. #22
    invitef2853e5d

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Ok je vois ce que tu veux dire, mais si l'on revient sur un aspect purement pratique et que l'on traçe cette fonction, on voit bien que l'air sous la sourbe s'annule non?

  24. #23
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par Leonpolou Voir le message
    Ok je vois ce que tu veux dire, mais si l'on revient sur un aspect purement pratique et que l'on traçe cette fonction, on voit bien que l'air sous la sourbe s'annule non?
    Il faudrait peut-être commencer par définir ce qu’on entend par « aire sous la courbe ». Dire que deux aires infinies se compensent revient exactement au même que d’écrire et pose exactement les mêmes problèmes. Si l’on se contente de regarder une figure, on voit la symétrie, alors c’est normal de penser à une intégrale nulle (et cela se démontre rigoureusement en considérant la limite avec les deux bornes qui tendent vers les singularités au même rythme). Mais regarder une figure n’est pas démontrer, surtout pour des notions qui ne sont pas définies et dont donner une vraie définition est délicat.

    L’intuition en mathématiques, c’est très bien et cela permet de découvrir des tas de choses. Mais il faut en connaître les limites. Sur l’infini, l’intuition est vite trompeuse et peut faire croire n’importe quoi. Il y a par exemple exactement autant d’entiers pairs que d’entiers tout court : est-ce intuitif ?
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  25. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    désolé de ne pas avoir envie de réviser...
    mais est-ce bien pour tout a ou "il existe a" ?

  26. #25
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    désolé de ne pas avoir envie de réviser...
    mais est-ce bien pour tout a ou "il existe a" ?
    Les deux sont valables. Comme l’intervalle concerné est non vide, le « pour tout » est plus fort.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  27. #26
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Les deux sont valables. Comme l’intervalle concerné est non vide, le « pour tout » est plus fort.
    en fait, il n'est pas plus fort il revient au même.
    Int(-x;a)+Int(a;x) = Int(-x;a)+Int(a;0)+Int(a;x) ( si a négatif, sinon c'est reciproque ).
    reste de savoir que l'intégrale ]-pi/2;pi/2[ s'analyse de même manière que [-pi/2;pi/2], car dans le premier cas on peut montrer la continuité.

  28. #27
    DSCH

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    en fait, il n'est pas plus fort il revient au même.
    Int(-x;a)+Int(a;x) = Int(-x;a)+Int(a;0)+Int(a;x) ( si a négatif, sinon c'est reciproque ).
    Plus fort au sens ou « pour tout élément » d’un ensemble qui en contient plus d’un est plus fort que « il existe un élément » dans cet ensemble. Ici en effet, avoir la propriété pour un l’entraîne pour tous les autres (je n’avais pas prétendu le contraire).

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    reste de savoir que l'intégrale ]-pi/2;pi/2[ s'analyse de même manière que [-pi/2;pi/2], car dans le premier cas on peut montrer la continuité.
    Là en revanche, désolé d’insister, mais si vous n’avez pas envie de réviser, je ne vais plus me fatiguer à répéter qu’intégrer sur deux ensembles qui diffèrent d’un ensemble de mesure nulle ne change rien à la nature, ni à la valeur le cas échéant, de l’intégrale. Quant à « montrer la continuité », la continuité de quoi ? ça ne veut rien dire !

    Et ce sera la fin de la discussion de mon côté si le fil continue à tourner en rond, j’ai autre chose à faire que de répéter des explications à qui ne veut pas les entendre. On trouve des tas de cours sur l’intégration sur le web.
    1 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3

  29. #28
    pallas

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    je ne pense que le calcul doit se faire mais plutôt utiliser la parité de tan et les propriétés de l'integrale d'une fonction impaire entre - a et a

  30. #29
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrale de fonction sin/cos/tan

    Citation Envoyé par pallas Voir le message
    je ne pense que le calcul doit se faire mais plutôt utiliser la parité de tan et les propriétés de l'integrale d'une fonction impaire entre - a et a
    c'est ce que je m'efforce d'expliquer.!
    la parité n'est pas une "vision" graphique, c'est une réalité mathématique.
    on est donc loin d'une simple conclusion +l'inf -l'inf =0

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