Analyse-Synthèse avec fonctions

[Pelosaure]

Bonjour dans le cadre d'un dm, j'ai des difficultés à résoudre un exercice :

Soit f une fonction de classe C1 de I dans I admettant un unique point fixe l sur I.
on suppose que |f'(l)|<1

1) Justifier qu'il existe epsilon>0 et K dans [0;1[ tel que pour tout x dans ]l-eps ; l+eps[, f'(x) <= K.

2) Soit x dans ]l-eps ; l+eps[. Montrer que f(x) est aussi dans ]l-eps ; l+eps[

Je me doute qu'il faut raisonner par analyse-synthèse avec peut-être des théorèmes des accroissements finis ou avec les fonction K-lipschitzienne mais là je bloque..
Merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

pour la question 1, il te suffit de noter que si |f'(I)| <= 1, alors f'(I)<=1, donc il existe K tel que f'(I)<K<1 (on peut même choisir la valeur de K en fonction de f'(I).
Ensuite, la continuité de f permet de conclure (retour à la définition).

Cordialement.

NB : pas besoin de choses compliquées pour cette question.

[Pelosaure]

Bonjout gg0 et merci de votre aide

Donc si je récapitule, on a |f'(l)|<1 donc il existe K dans [0;1[ tel que |f'(l)|<=K

Or f' est continue sur ]l-eps ; l+eps[ car f est de classe C1 donc d'après la définition de continuité en l :

Pour tout delta>0, il existe eps>0, tel que pour tout x dans ]l-eps ; l+eps[, |x-l| <= eps implique |f'(x)-f'(l)| <= delta

On a donc bien : -eps <= x-l <= eps d'où l-eps <= x <= eps+l

Ainsi cela implique par définition que |f'(x)-f'(l)| <= delta et donc -delta <= f'(x) - f'(l) <= delta et donc f'(l)-delta <= f'(x) <= f'(l)+delta

Or f'(l) <= K donc f'(l)+delta <= K + delta

Donc finalement j'obtient que pour tout x dans ]l-eps ; l+eps[, f'(x) <= K+delta or il faut montrer que f'(x) <= K mais delta>0...

Je ne vois pas l'erreur..

Merci d'avance

[AncMath]

On te demande de montrer qu'il existe et mais tu ne choisis que ton et pas de manière très astucieuse.

La question 2 est très mal formulée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

bjr,
j'observe pour ma part des écritures ( dans diff post ) variables entre < et les <= .

[gg0]

Pelosaure,

Pourquoi reprendre K directement, et pas choisir delta de façon que f'(I)+delta <K ?

[ansset]

La question 2 est très mal formulée.

je suppose qu'il s'agit de montrer que ( pour le eps existant de la question 1) qu'on ne connaît pas forcement )
|x-l|<eps => |f(x)-l|<eps.
suffit de se rappeler que


et d'utiliser le résultat de la question 1)
ps : je saisi mal pourquoi dans la 1) on majore seulement f'(x) sur un intervalle ad hoc et pas directement |f'(x)| ??

[AncMath]

A tout seigneur, tout honneur, je laisse Serre expliquer le problème avec la formulation de la question 2
https://youtu.be/ECQyFzzBHlo?t=621

[ansset]

c'est surement très intéressant, mais malheureusement, entre "l'accent", et la mauvaise qualité ( sur mon ordi ) de l'image et du son, je ne peux saisir !
un résumé serait utile ( surtout s'il contredit ce que j'ai exprimé )

[AncMath]

C'est pas en contradiction avec ce que tu dis c'est simplement une illustration du fait que l’enchaînement
1) Il existe tel que etc...
2) Le du point 1 vérifie etc...
est vide de sens.

Le point 2 peut s’interpréter comme : "pour tout choix de etc..." ou "on peut choisir tel que etc...".

Bien sur c'est un simple point de rédaction mais de la part d'un énoncé c'est quand même très mal venu.

[ansset]

je comprend.
il est malheureusement fréquent que les énoncés soient très mal fichus.
voir aussi parfois mal recopié ( ou seulement en partie ).
et j'ai un petit doute concernant celui ci.
Cdt