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Comment prouve t-on que 1+1=2?



  1. #1
    rapha

    tout est dans la question.
    merci

    -----

  2. #2
    dupo

    bonjour,
    je me demande si t'as question a un sens.
    n'est ce pas une définition que d'associer 2 à 1+1, 3 à 1+1+1.
    maintenant à un niveau plus fondamental, il existe des procédés de construction des entiers, mais, je pense qu'on aurait très bien pu appeler 1+1 autrement, ça n'a pas d'importance.
    ce qui compte , ce sont ses propriétés, donnée par l'arithmétique.

    m'enfin, ce n'est qu'un avis.

  3. #3
    Coincoin

    Encore une victoire de Canard !

  4. #4
    Quinto

    On va se la taper tous les mois cette question?

    De toute facon, ce n'est pas vrai partout, notamment dans des anneaux de caracteristique 2 ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    dupo

    ce n'est pas vrai partout, notamment dans des anneaux de caracteristique 2 ...
    ouais, mais je ne pense pas qu'il se pose la question de savoir si dans tout anneaux ceci est vrai...
    il se le demande qu niveau fondamental, au niveau des entiers...

    à force de chercher des contres exemples, on n'en oublie presque la curiosité générale...on ne cherche pas à savoir que on a inventé un anneaux de 136 éléments où toute l'arithmétique usuelle est fausse...

    je crois qu'il demande si 1+1=2 est un axiome, ou si on peut remonter plus en arrière.
    crois tu que les babyloniens connaissaient le concept d'anneaux quotient , pourtant ils utilisaient déjà l'arithmétique...

    c'est un peu comme si tu me pose la question : est ce que tu t'appelles dupo ?
    de toute façon, ce n'est pas vrai dans l'univers parallèle que j'ai construis mentalement où chaque élément est relié par un processus stochatisque avec un autre élément de l 'univers réèl dans lequel je vis.

    de temps en temps redescendez sur terre...

    aimablement,
    D.

  7. #6
    dupo

    de plus quand tu additionnes 1 +1 dans un anneaux quotient,
    tu ne fais pas vraiment 1+1 au sens "fondamental", puisqu'en réalité tu fais un calcul avec des classe d'équivalence avec une relation d'équivalence que tu as défini !
    1 est alors un représentant d'une classe d'équivalence, donc tu aurais très bien pu choisir un autre représentant...


    bref, ce "contre exemple" n'enlève en rien l'intérêt de la question.

  8. #7
    Jedeki

    Citation Envoyé par dupo
    de plus quand tu additionnes 1 +1 dans un anneaux quotient,
    tu ne fais pas vraiment 1+1 au sens "fondamental", puisqu'en réalité tu fais un calcul avec des classe d'équivalence avec une relation d'équivalence que tu as défini !
    1 est alors un représentant d'une classe d'équivalence, donc tu aurais très bien pu choisir un autre représentant...


    bref, ce "contre exemple" n'enlève en rien l'intérêt de la question.
    c'est vrai que le 1 d'un anneau n'est pas le vrai 1, mais il lui ressemble (en fait c'est l'inverse)
    2+2=4.17985

  9. #8
    Quinto

    Mais y'a t'il un 1 qui est plus mieux que les autres?

    D'ailleurs est ce que le 1 de R et le 1 de N sont les mêmes ... ?

  10. #9
    Karibou Blanc

    Salut,

    D'ailleurs est ce que le 1 de R et le 1 de N sont les mêmes ... ?
    J'aurai tendance à dire oui puisque R inclu l'ensemble N.

  11. #10
    shokin

    Citation Envoyé par Karibou Blanc
    Salut,

    D'ailleurs est ce que le 1 de R et le 1 de N sont les mêmes ... ?
    J'aurai tendance à dire oui puisque R inclu l'ensemble N.
    moi aussi c'est juste R qui est différent de N : dans N, aucun élément n'a d'opposé.

    quand même assez longue, la démo 1+1=2, j'ai pas tout compris, mais c'est pas grave. Du moment que quelqu'un l'a démontré, je peux sans doute et sans remords arriver juste après le 1er de la course en me disant que je suis deuxième.
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  12. #11
    folky

    ben oui le 1 de R et de N c'est le meme ^^

  13. #12
    Jedeki

    attention, il y a une preuve constructive purement mathématique provenant de la théorie des ensembles qui est assez simple, mais longue (il faut faire formellement toute la théorie des ensembles en partant des axiomes) et il y a la preuve logique de Russel et Whithead qui est totalement inbuvable (mais un peu plus courte).

    De manière rigoureuse, le 1 naturel n'est pas le 1 entier, ni fractionnaire ni même réel, mais il est identifié de manière canonique à chaque fois.

    (de manière stricte les nombres réels sont définis par:

    R = l'adhérence du corps des fractions du groupe obtenu par la construction de grothendieck du groupe ligre engendré par un élément.)
    2+2=4.17985

  14. #13
    folky

    hum ok mais c'est en considérant les ensembles séparément à chaque fois non ?

    Si je considère N comme un sous groupe additif de R alors leur 1 est bien le meme non ?

  15. #14
    Quinto

    Encore faudrait il que N soit un sous groupe additif de R...

  16. #15
    folky


    effectivement je dis des betises

  17. #16
    Octaèdre

    STOP ! Attendez, c'est quoi cette question ? Ca sert à quoi de prouver que 1 et 1 font 2 ? Je me marre ! Ca sert à rien, un élève de CP le sait ! Et entre nous je doute qu'elle soit demandé à un examens...
    Pourquoi prouver ce qui est évident ?

    Sinon je pense que la suite des entiers naturel est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u0=0 donnée par un=0+1n. On fait u1+u1, soit (0+1*1) + (0+1*1) ce qui donne 2.

  18. #17
    Coincoin

    un élève de CP le sait
    Un élève de CP sait le résultat mais pas pourquoi...
    je doute qu'elle soit demandé à un examen
    Quelle belle vision des sciences et de la réflexion humaine !!! Je te souhaite d'avoir rapidement un diplôme pour pouvoir arrêter de réfléchir
    Pourquoi prouver ce qui est évident ?
    Va demander aux philosophes pourquoi ils veulent savoir ce qu'est le temps alors que tout le monde sait intuitivement ce que c'est... Réfléchir à ce qui peut sembler évident permet d'avoir une meilleure compréhension des concepts (pourquoi est-ce évident ?...)

    Sinon je pense que la suite des entiers naturel est (...) donnée par un=0+1n
    Qu'est-ce que "0" ? Comment définis-tu ton addition ? Quelles sont les hypothèses que tu fais sans t'en rendre compte ?
    Encore une victoire de Canard !

  19. #18
    dupo

    je sais pas , moi, cette question elle m'intrigue.
    tu as certainement l'âme d'un ingénieur ,mister octaèdre, chacun sa sensibilité.
    je t'encourage donc dans cette voie, sinon tu passerais à coté d'une vocation.

    D.

  20. #19
    Jedeki

    ... c'est bien triste cette vision octaédrique du monde...

    c'est comme demander à un ingénieur pourquoi il se casse la tête à améliorer et optimiser un truc qui marche déjà bien, c'est completement inutile...
    2+2=4.17985

  21. #20
    folky

    un de mes profs nous a sortie une phrase un jour et je trouve ça assez vrai
    "lorsqu'on dit qu'une partie de démonstration est évidente, la plupart du temps qq chose qu'on ne sait pas démontrer"

    et puis ton élève de cp dit lui fait 1+1 dans Z/2Z il te dira ça fait 2 parce que 1+1=2 voyons ^^

  22. #21
    Octaèdre

    0K vous êtes tous balaises, je me rends. Je reviendrai plus tard sous un autre nom quand j'en saurai plus. Je vois que "Coincoin" a fêté son millième message en se défoulant sur le pauvre inocent que je suis, coincoin, je te le dis, tu peux m'effacer de la liste des membres... Adieu

  23. #22
    Coincoin

    C'est vrai qu'a posteriori mes propos peuvent paraître bien plus agressifs qu'ils n'étaients censés l'être... Mais c'est peut-être aussi parce que je m'étais senti agressé par les tiens qui, de mon point de vue en tout cas, semblait dire que nos réflexions ne servaient strictement à rien, et que nous étions bien c*** de réflechir là-dessus (et apparemment je ne suis pas le seul à l'avoir pris ainsi). Comme quoi, sur un forum, il faut toujours réfléchir à la manière dont notre message sera perçu...
    Toutefois, je tiens sincérement à m'excuser pour mon message précédent qui a dépassé de très loin mes pensées.


    PS Merci de m'avoir fait remarqué que j'avais dépassé le 1000e message, je ne m'en étais pas rendu compte...
    Encore une victoire de Canard !

  24. #23
    dupo

    Adieu
    ouais, je trouve ça dommage qu'au moindre débat d'idée, tout le monde se casse.
    le plus important, dans un forum, je crois c'est pas d'avoir raison, mais, de parler avec des gens qui n'ont pas les même connaissances et visions des choses.
    il n'y a rien de balaise à se demander si 1+1=2, au contraire, tu vois, c'est une question très difficile, et tu n'en as peut être pas conscience...
    maintenant à toi d'avoir l'ouverture d'esprit nécessaire pour respecter certaines questions.
    certaine question simple sont très riches d'enseignements.
    bon courage à toi.

  25. #24
    Quinto

    Avant de se demander pourquoi 1+1=2 je pense qu'il est important de se demander ce qu'est 1, ce que signifie = et ce qu'est ce +
    Ensuite qu'est ce que 2? Comment est il défini?

    Démontrer que pour tout x x+0=x est débile par exemple, c'est la définition du 0, pourtant personne ne se pose la question, qui a autant de légitimité que celle posée ici.

    Pour ce qui est de N, 1+1=2 parce que c'est ainsi qu'a été défini 2.

  26. #25
    dupo

    Avant de se demander pourquoi 1+1=2 je pense qu'il est important de se demander ce qu'est 1
    c'est ce qui était en train de se faire...

  27. #26
    Quinto

    C'est bien, mais au bout de 2pages c'est beaucoup, surtout que j'ai répondu au 3e post si je ne m'abuse que celà dépendait de l'endroit où on se placait...

    On peut très bien dire que si on se donne un ensemble E, alors 1=E

    En fait les "chiffres" que l'on se donne dépendent non seulement de l'ensemble, mais aussi des lois que l'on se donne.

    Cependant c'est un peu le problème de l'oeuf et de la poule, pourquoi 1 et pourquoi +? Parce qu'au début on s'était donné des chiffres et on a défini une opération, et on a généralisé le problème.

    Maintenant on a changé de sens entre "" et on ne peut rien dissocier...

  28. #27
    dupo

    n'y a t'il pas de structure sous jacentes aux définitions que tu donnes ?
    sont elles la bases de l'arithmétique ?

  29. #28
    Quinto

    Les définitions et propriétés dépendent intégralement des axiomes que l'on se donne...

    Si on revient à notre "bon vieux" Peano (qui n'est pas si vieux que ca d'ailleurs) alors on se donne (entre autre) une fonction injective f telle que
    f(x)>x

    au lieu de noter f(f(1)) on note 2, mais ca revient au même.

    Maintenant si je me donne un anneau de Boole à 4éléments j'ai clairement

    a+a=0
    en effet
    a²=a par définition d'un anneau de Boole.

    Si je prend a non nul j'obtiens

    (a+a)²=(a+a) (par définition en posant a<--a+a)

    en développant on trouve a²+a+a+a²=a+a et donc
    a+a+a+a=a+a et donc par régularité des éléments de l'anneau je trouve
    a+a=0

    Je n'ai rien dit sur a,0, ni sur ce qu'était ce fameux +.

    exhibons un anneau de boole à 4élements, si je ne m'abuse l'ensemble des matrices diagonales de M2(F2) est un tel anneau. (par recurrence sur l'ordre, on peut montrer que Mn(F2) est un anneau de Boole à n² éléments)

    Bon, bein il est clair que dans un tel anneau le 2 n'existe pas, mais on peut prendre la notation récursive:

    0a=0
    na=(n-1)a+a

    et on voit alors que 2M=M+M mais ce n'est là qu'une notation et à aucun moment le 2 n'existe quelque part.

    Bon en fait l'exemple n'est pas si bon que ca puisque l'on a quand même un F2-espace vectoriel et qu'à priori le 2 dépend du 2 de cet espace.

    Bon prenons un autre exemple connu d'anneau de Boole:
    soit E un ensemble non vide et soit A=(P(E),/,N) avec / la différence symétrique et N l'intersection.

    Bon bein il est clair que l'on a un anneau, et il est de Boole.

    là il n'est plus question d'avoir des nombres, puisque l'on a des ensembles (reste à savoir comment on défini les nombres)

    Si je note avec n dans N
    0F=0
    nF=(n-1)F/F

    et donc il est tout à fait légitime de poser avec cette notation
    2F=F/F

    Et là on trouve bien que 2F=0 et ceux pour tout F.

    Or on a quand même coutume d'appeler 0 l'élément neutre pour la 1e loi et 1 celui pour la seconde loi.

    L'élément neutre pour la seconde loi est E (à vérifier, c'est facile) et on a donc E=1
    or ce que j'ai dit là haut était vrai pour tout F, en particulier pour F=E=1 et on trouve donc 2=0.

    Et je ne me suis jamais posé dans un groupe quotient...

  30. #29
    Quinto

    Mais moi ce qui m'interesserait surtout, ce serait de savoir pourquoi 0^0 n'est pas possible
    Et si c'est possible, où donc?

    Par exemple 1/0 existe si et seulement si 1=0 donc en fait quand on se situe dans le cas de l'anneau trivial à 1élément...

  31. #30
    dupo

    désolé l'érudition ne prouve rien.
    de plus, une question se posait, comment construire l'ensemble N ?
    mais il suffit de lire un peu pour savoir où trouver une construction qui n'est pas au programme du 2e cycle, au moins.
    je crois que malgré toi, tu as posé des questions intéressantes...
    on trouve donc 2=0.
    mais de quoi tu parles ? tu pétes carrément les plombs là ?

    je voudrais toutefois essayer de conclure ce sujet, en citant un extrait d'un livre:"
    dans ce livre nous ne donnerons aucune définition de l'ensemble des entiers naturels. leur nom veut bien dire ce qu'il veut dire: naturels. Pour les amateurs d'abstration qui pourraient vouloir une définition de N à partir des axiomes de la théorie des ensembles, sachez que ceci est possible MAIS qu'il est malgré tout nécessaire de faire appel à une notion intuitive des entiers: c'est une question de nature philosophique; on ne peut pas se passer en logique ou en mathématique d'une connaissanc intuitive des entiers."
    voilà, je crois que c'est une bonne conclusion, et ça évite de dire trop de betises.

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