Sémantique

[Dlzlogic]

Bonjour,
Toujours dans le cadres de la définition précise des termes employés, dernièrement le terme "biais" et ses dérivés a été employé plusieurs fois dans le même sujet.
D'après les très nombreuses utilisations de ce terme, on peut considérer qu'il est employé comme un presque synonyme de "erreur".
En mathématiques et particulièrement en probabilités, le terme erreur a un sens très précis : "une valeur petite que l'on ne connait pas". Bien-sûr cela n'a rien à voir avec une faute.
Il y a deux types d'erreur, les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles.
Les erreurs systématiques sont assimilables à une translation. Dans certains cas, on peut les éviter.
Les erreurs accidentelles dépendent directement des probabilités. On ne peut pas les corriger "Si on pouvait corriger une erreur alors, ce ne serait plus une erreur", par contre, on peut étudier leur répartition.
Ma question : pourquoi avoir inventé le terme "biais" et ses dérivés alors que le terme "erreur" existe ?
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[Deedee81]

Salut,

De ce que j'ai vu, le biais est la cause et l'erreur (systématique dans ce cas) en est la conséquence. D'où l'usage de deux noms.
Il peut bien entendu y avoir d'autre causes aux erreurs.

[AncMath]

Ça n'est pas du tout ça la définition d'un biais. La voici la définition d'un biais dans le cas réel disons pour simplifier.

Soit une application continue où ce dernier espace est l'espace des mesures de probabilités sur un espace probabilisé admettant un espérance. Soit une fonction continue. Et soit une famille de variables aléatoires réelles iid de loi , il est traditionnel ici de noter pour l'argument de , en fait dans la pratique on parle plutôt de en lieu et place de .
Un estimateur de pour c'est une fonction , le biais de l'estimateur c'est sous réserve que ce terme existe.

Bien sur en pratique les fonctions sont obtenues par composition avec d'une application .

Donnons deux exemples classiques, fixons nous un entier et soit qui envoie sur et soit la composition de avec l'espérence. Alors il est trivial de prouver que est un estimateur de dont le biais est nul.

De la même manière prenons cette fois qui envoie sur et soit la composition de avec la variance sous l'hypothese bien sur que attérit dans le sous espace des lois possédant des moments d'ordre 1 et 2. Alors il est simple de prouver que le biais de en tant qu'estimateur de pour n'est pas nul.

[invite9dc7b526]

En statistiques le contexte est un peu plus complexe que celui exposé par AncMath. On suppose qu'on a un ensemble de mesures de probabilité, éventuellement décrit par un paramètre theta (mais ce n'est une restriction que si on suppose que theta varie dans un espace de dimension finie).

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Je t'accorde que faire partir de de est réducteur mais j'ai dit que je me plaçais dans le cas d'un paramètre réel pour simplifier. En général c'est vrai il n'y a pas de raison de se limiter et peut être n'importe quelle application continue d'un espace topologique quelconque à valeurs dans . Dans la pratique c'est souvent .

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il me semble que l'étude des probabilités est du domaine du réel.
J'ai souvent lu cette expression "espace probabilisé". Mais je n'ai pas trouvé de définition qui me satisfasse. Cela sous-entend d'une part une liste (espace et/ou tribu) d'autre part une loi de probabilité. On est en plein dans des notions abstraites, ce qui est contraire au réel.

Le biais, c'est une valeur OUI ou NON ?
Peut-on calculer un biais OUI ou NON ?
Ce terme a-t-il une définition unique ? si oui, quelle est-elle ?

Il s'avère qu'il y a de nombreuses questions sur ces sujets, souvent des réponses du type "ça dépend".

Considérant que les probabilités concernent le réel, à chaque explication on devrait pouvoir donner un exemple dans le domaine du réel. D'autre part, tout exercice de probabilité devrait avoir une solution unique. Apparemment, cette notion de biais est très utilisée pour masquer des imprécisions ou des simplifications.
C'est le but de ma question. J'aimerais bien avoir des exemples dans le monde du réel pour permettre une discussion constructive.

[Dlzlogic]

Bonjour AncMath,

Donnons deux exemples classiques, fixons nous un entier et soit qui envoie sur et soit la composition de avec l'espérence. Alors il est trivial de prouver que est un estimateur de dont le biais est nul.

De la même manière prenons cette fois qui envoie sur et soit la composition de avec la variance sous l'hypothese bien sur que attérit dans le sous espace des lois possédant des moments d'ordre 1 et 2. Alors il est simple de prouver que le biais de en tant qu'estimateur de pour n'est pas nul.

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ou bien interprété ces deux phrases (il semble que la copie n'a pas pris en compte le Latex.
Pourrais-tu donner un exemple pour chaque.
Ce que je comprends, c'est dans le premier cas, on travaille sur la moyenne arithmétique, le biais est nul, dans le second, on travaille sur la moyenne quadratique, alors le biais n'est pas nul. C'est ça ?

[AncMath]

Bonjour,
Il me semble que l'étude des probabilités est du domaine du réel.

Non, c'est une domaine des mathématiques qui n'a donc rien à voir a priori avec le réel. On peut s'en servir pour appréhender une partie du réel oui, comme du reste des mathématiques d'ailleurs.

J'ai souvent lu cette expression "espace probabilisé". Mais je n'ai pas trouvé de définition qui me satisfasse. Cela sous-entend d'une part une liste (espace et/ou tribu) d'autre part une loi de probabilité. On est en plein dans des notions abstraites, ce qui est contraire au réel.

C'est tres simple, c'est un espace muni d'une tribu et d'une mesure de probablité de masse 1. En general on prend un espace topologique et on impose une condition de compatbilité entre la mesure et la topologie. On regarde uniquement les mesures boreliennes.

Ce sont des notions de maths elles sont abstraites comme toutes notions de maths.

Le biais, c'est une valeur OUI ou NON ?

Le biais est un réel, oui, dans la définition que j'ai donné. On peut donner des définitions plus générales ou le biais serait un vecteur par exemple.

Peut-on calculer un biais OUI ou NON ?

Qu'est ce que ca veut dire calculer ? Peut on "calculer" une intégrale, en général non. Parfois oui. Pour le biais c'est la même chose.

Ce terme a-t-il une définition unique ? si oui, quelle est-elle ?

Oui, je viens de te la donner.

Un estimateur de pour c'est une fonction , le biais de l'estimateur c'est sous réserve que ce terme existe.

Il s'avère qu'il y a de nombreuses questions sur ces sujets, souvent des réponses du type "ça dépend".

Il arrive que des gens conaissent mal les mathématiques et ne se rendent pas compte que leur question est mathématiquement imprécise. Qu'y a-t-il de mal à leur faire remarquer dans ces cas là ?

Considérant que les probabilités concernent le réel, à chaque explication on devrait pouvoir donner un exemple dans le domaine du réel.

La prémisse étant fausse, le reste tombe.

J'aimerais bien avoir des exemples dans le monde du réel pour permettre une discussion constructive.

Des "exemples" dans le monde réel d'une notion mathématiques, je serai bien en peine d'en donner un pour n'importe quelle notion mathématique que ce soit. Dans le monde réel, il n'y a ni nombre réels, ni nombre entiers, ni fonctions, ni variables aléatoires, ni espace topologique, ni rien du tout de mathématiques. Je peux te donner des exemples de situations du monde réel que les gens usuellement traduisent en langage mathématiques. Mais c'est un sujet qui ne relève pas des mathématiques proprement dites.

[AncMath]

Bonjour AncMath,

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ou bien interprété ces deux phrases (il semble que la copie n'a pas pris en compte le Latex.
Pourrais-tu donner un exemple pour chaque.

Je ne comprend pas, mes deux exemples sont déjà des exemples.
Si tu veux qeulque chose d'encore plus concret prend la mesure uniforme sur par exemple. Le calcul est très simple dans ce cas.

Ce que je comprends, c'est dans le premier cas, on travaille sur la moyenne arithmétique, le biais est nul, dans le second, on travaille sur la moyenne quadratique, alors le biais n'est pas nul. C'est ça ?

Ta phrase n'a pas de sens le biais d'un estimateur c'est relativement à une fonction comme j'ai dit plus haut, c'est la fonction que l'on cherche à estimer justement. La moyenne arithmétique est un estimateur non biaisé de l’espérance : son biais est nul pour la composition de avec l'espérance pour tout fonction .
Dans le second la formule est ce qu'on appelle la variance empirique, c'est un estimateur biaisé, c'est à dire que son biais n'est pas nul, de la composition de avec la variance pour toute fonction .

En fait dans le cas d'estimateur aussi simples, on a même pas besoin de , on peut travailler directement sur le sous espace des mesures boreliennes admettant une espérence pour le premier cas, et admettant des moments d'ordre 1 et 2 pour le second cas.

[Médiat]

Bonjour,

Dans le monde réel, il n'y a ni nombre réels, ni nombre entiers, ni fonctions, ni variables aléatoires, ni espace topologique, ni rien du tout de mathématiques.

Ayant défendu cette position de nombreuses fois sur FSG, je me permets de vous diriger vers http://forums.futura-sciences.com/sc...thmetique.html, au cas où vous ne connaitriez pas.

[invite046e427d]

Bonjour,
Merci pour cette clarté (monde réel et math).

[jacknicklaus]

Il semble que ce ne soit pas un consensus :

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathem...rse_hypothesis

[invite9dc7b526]

Le biais, c'est une valeur OUI ou NON ?
Peut-on calculer un biais OUI ou NON ?

je ne réponds qu'à ces questions parce que le reste sur le réel vs l'abstraction ne me semble pas devoir être commenté.

S'agissant du biais en statistiques, il y a deux approches:

1) l'approche "naïve" : nous est donné un n-échantillon X1,...,Xn issu d'une loi P, élément d'un ensemble de lois, décrit par un certain paramètre theta. On veut estimer une fonction g(theta) par une fonction f(X1,...,Xn). Le biais est alors simplement E(f)-g(theta). C'est une fonction de theta (donc ce n'est pas une simple valeur)

2) l'approche asymptotique : l'échantillon est supposé "infini": X1,X2,... et cette fois on s'intéresse à E(f(X1,..,Xn)-g(theta). Là le biais est une fonction de theta et de n. Ce n'est toujours pas une valeur.

On sait calculer le biais explicitement dans les cas relativement simples. Dans des cas moins simples on arrive à calculer la vitesse de décroissance du biais par exemple. Et puis il y a des cas compliqués où on ne sait rien calculer (mais souvent on peut simuler les choses et avoir desrésultats numériques).

[AncMath]

Je précise juste une chose vis à vis de cette partie de la réponse de Minushabens

Le biais est alors simplement E(f)-g(theta). C'est une fonction de theta (donc ce n'est pas une simple valeur)

car un oeil non averti pourrait y voir un désaccord entre sa réponse est la mienne. Quand je dis que le biais est un réel, je parle pour un donné. Il est clair que le biais varie en fonction de et qu'en tout rigueur Minushabens a raison le biais est une fonction de .

[invite9dc7b526]

Mouais mon message n'est pas clair du tout... je voulais expliquer la différence entre calculer un biais à distance finie et calculer un biais asymptotique mais je me suis découragé. J'y reviendrai demain si j'ai le temps.

[invite0b618583]

On va essayer de vulgariser pour un néophyte (celui qui pose la question).

On a une variable aléatoire X de loi inconnue. On veut connaître un paramètre de cette loi (par exemple son espérance ou sa variance).
Il se trouve qu'on dispose également d'un échantillon de cette loi, c'est à dire de tirages indépendants X_1 ... X_N.
Un estimateur est une fonction des valeurs de cet échantillon. Il s'agit donc d'une variable aléatoire.

Le biais est le réel .

Exemple. Je prends un dé équilibré à 6 faces. Je considère la variable aléatoire qui à chaque face associe le nombre écrit sur la face. Il s'agit d'une variable aléatoire uniforme sur {1,2,3,4,5,6}.

Son espérance est

C'est le paramètre que l'on veut estimer.

Observer un échantillon à N éléments consiste à jeter N fois le dé et à noter les valeurs des N tirages.
Un estimateur de l'espérance est la moyenne empirique donnée par


Exemple : est une variable aléatoire, avec



...

Il s'agit d'un estimateur sans biais car on a .


______________________________ ______________________________ _______________________
P.S: je laisse de côté le fait que le biais est en réalité une fonction du paramètre theta pour le moment.

Déjà si Dlzlogic comprenait que l'espérance n'est pas "la proba fois le gain" et que l'on peut parler d'estimateur
de l'espérance ou de la variance on ferait des progrès.

[Dlzlogic]

Bonsoir feanorel,
J'avoue que je n'ai pas lu ta démonstration jusqu'au bout, tout simplement parce que tu confonds le nombre de tâches sur le dé, qui n'est qu'un label, un moyen de les reconnaitre, et une valeur de variable aléatoire.
Dans le tirage de dé, ce qui compte n'est pas ce qui est marqué sur la face, ce pourrait être écrit en chinois ou avec des dessins, mais le nombre de fois que cette face apparait dans une série de tirages.
Pour moi, le truc des nombre de taches sur le dé ferait partie des pièges pour montrer que l'autre a tort. A la place du 6 (6 taches) mets un blanc, ça changera quoi à la démonstration ? Tout pour toi, rien pour moi, en informatique le premier indice d'un tableau est généralement 0. Donc on aura 0, 1, 2, 3, 4, 5 et alors, ça change quoi ?

Concernant l'écart-type, sa définition est précise, son rapport avec l'écart moyen arithmétique l'est aussi. Si on a une série d'observations, on peut calculer la moyenne arithmétique, puis l'écart-type, si on veut. Il n'y a pas d'estimation, ni d'espérance, il n'y a que les calculs simples. Par contre, ce que tu sembles ignorer est que la répartition des écarts à la moyenne suit une fonction bien connue : la loi normale.
J'ai proposé pas mal de simulations pour le vérifier. Certains l'ont simulé et m'ont donné les résultats. Ils l'ont probablement oublié. D'autres continuent à dire que ce n'est pas vrai, mais ne font pas les simulations.

Pour tenter d'être rigoureux, il est bien évident que la moyenne calculée n'est pas une valeur exacte. On peut l'appeler "estimation de la moyenne", pourquoi pas. Par contre, l'écart type, c'est une valeur exacte en fonction des valeurs à disposition. Si on se met à estimer l'écart type, plus rien ne repose sur rien, alors il faut arrêter de faire des statistiques.
Pour revenir au sujet de départ, si on calcule l'écart-type à partir de la moyenne observée et que le diviseur est N au lieu de (N-1), il n'est pas question de "biais" mais de "faute de calcul".

Pour moi, ceci constitue une parenthèse, je ne sais toujours pas ce que signifie le biais, terme très souvent employé.

[invite9dc7b526]

Pour tenter d'être rigoureux, il est bien évident que la moyenne calculée n'est pas une valeur exacte. On peut l'appeler "estimation de la moyenne", pourquoi pas. Par contre, l'écart type, c'est une valeur exacte en fonction des valeurs à disposition. Si on se met à estimer l'écart type, plus rien ne repose sur rien, alors il faut arrêter de faire des statistiques.

c'est pourtant bien parce que l'écart-type est en général inconnu et doit être estimé que William Gosset a inventé la méthode de test et la distribution qui portent son nom (euh... non en fait elles sont nommées par son pseudo "Student").

[Deedee81]

Salut,

Pour info, en cours de statistique on a étudié : la moyenne sur (l'estimation de) la moyenne, l'écart-type sur la moyenne, ainsi que la moyenne de l'écart-type (à nouveau l'estimation sur échantillon) et l'écart-type sur l'écart type (pour ce dernier on n'avais pas les détails du calcul, dans le cours il était juste indiqué "après un litre de café et deux tubes d'aspirines on trouve ... , je précise que c'était un cours d'ingénieur. Je suppose que pour une licence en math on ne fait pas l'impasse).

Dlzlogic confond échantillon et population. La valeur de l'écart-type sur une population a une valeur précise et exacte, tout comme la moyenne. Mais la mesure se fait toujours sur un échantillon. Et là, forcément on a une variable aléatoire.

Un biais c'est lorsque la moyenne de la grandeur estimée (moyenne, écart-type) n'est pas égale à la valeur sur la population complète. Feanorel l'a écrit de manière plus précise et plus formelle.

J'avoue que je n'ai pas lu ta démonstration jusqu'au bout

Ca se voit

Sans rire, non, feanorel n'a pas fait de confusion. Mais toi, oui, c'est clair.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vais essayer d'être plus clair. D'abord je reprends point par point la réponse de DeeDee (qui apparemment n'a pas lu mon papier cité en MP. 15 pages, c'est pas terrible).
De quelque façon que l'on regarde le problème on a une liste de valeurs numériques. Par exemple des tailles d'individus majeurs.
On peut en calculer la moyenne arithmétique, on dira que c'est la moyenne observée. On peut dire aussi, si on veut "estimation de la moyenne par un calcul arithmétique parfaitement précis".
Cette moyenne observée a une valeur précise. On sait par ailleurs qu'elle est proche de la moyenne vraie (loi des grands nombres) et qu'on a eu raison d'adopter cette méthode de calcul (postulat de la moyenne). Considérant ces deux points (LGN et PM) cette moyenne observée est adoptée.
Dans un second temps, on cherche à affiner l'étude, c'est à dire apprécier la qualité du résultat. Pour cela, Gauss et ses copains ont été d'un grand secours. Ils ont montré que la répartition des écarts à la moyenne suivait une courbe parfaitement définie et que cette courbe avait une caractéristique : l'écart moyen quadratique. Tellement intéressant qu'on lui a donné un petit nom : écart-type.
Etant donné notre liste d'observations de départ, la moyenne calculée et adoptée, la formule de l'écart-type parfaitement définie, il n'y a aucune ambiguïté sur le calcul de l'écart-type.

Mais la mesure se fait toujours sur un échantillon. Et là, forcément on a une variable aléatoire.

Non, la variable aléatoire n'est pas le résultat (moyenne, écart-type) mais l'ensemble des mesures effectuées. Le résultat obtenu n'a rien d'aléatoire, il est obtenu avec les méthodes justifiées par l'étude des probabilités. Il ne faut pas confondre "aléatoire" qui correspond à des notions précises et "approchée" qui est le fait de toute mesure. En d'autres termes, une valeur toute seule ne peut pas être une "variable aléatoire".

Un biais c'est lorsque la moyenne de la grandeur estimée (moyenne, écart-type) n'est pas égale à la valeur sur la population complète.

Donc le biais est lorsqu'il y a une imprécision sur le résultat ? Mais il y a TOUJOURS une imprécision sur le résultat.
Alors, je repose la question :
Le biais est la valeur d'une erreur systématique ?
Le biais est la valeur d'une erreur accidentelle ?
Dire qu'il y a un biais c'est dire que de toute façon on ne sait pas et qu'on ne veut pas entrer dans les détails ?

On a une variable aléatoire X de loi inconnue. On veut connaître un paramètre de cette loi (par exemple son espérance ou sa variance).

Déjà là c'est un contre-sens. Si on fait une expérience avec une variable aléatoire X de loi inconnue, on est sûr que le résultat sera conforma à la loi normale pour un nombre suffisant. Cf TCL. Donc déjà là, on pourrait s'arrêter.

Exemple. Je prends un dé équilibré à 6 faces. Je considère la variable aléatoire qui à chaque face associe le nombre écrit sur la face. Il s'agit d'une variable aléatoire uniforme sur {1,2,3,4,5,6}.

J'ai déjà répondu sur le coup du dé à 6 faces notées 123456, et c'est là que j'ai arrêté définitivement, puisque j'avais déjà répondu souvent à ce type d'argument.

J'ai écrit soigneusement une longue explication mais la charte m'interdit d'en donner un lien ici.
J'ai dit un peu plus haut que les probabilités concernaient le monde réel. Si cette affirmation est vraie alors les exercices peuvent être résolus sans contestation et des simulations doivent pouvoir vérifier tout cela. Si elle est fausse alors AncMath a raison, par contre et c'est là qu'il y a contradiction, les mêmes expériences qui répondent aux mêmes théorèmes n'ont pas le même résultat suivant qu'on les réalise dans le monde réel ou dans le cadre de la mécanique quantique.

Ma question d'origine porte sur la signification du terme "biais", on en arrive aux tests en statistique. Ca parait un peu rapide. D'ailleurs, les stratistiques étant une application des probabilités, il vaudrait mieux être clair sur ce point.

[invite0b618583]

J'avoue que je n'ai pas lu ta démonstration jusqu'au bout, tout simplement parce que tu confonds le nombre de tâches sur le dé, qui n'est qu'un label, un moyen de les reconnaitre, et une valeur de variable aléatoire.

Tu me rappelle ta "définition" d'une variable aléatoire ? "un truc qui ne dépend que de l'aléa".
Le nombre de tâche sur la face d'un dé est bien "un truc qui ne dépend que de l'aléa". Je t'ai donné une variable aléatoire uniforme sur {1,2,...,6}

A la place du 6 (6 taches) mets un blanc, ça changera quoi à la démonstration ?

Donne moi une définition de variable aléatoire et on verras ce que ça change. La mienne est uniforme sur {1,2,...,6}, la tienne c'est quoi ?

0, 1, 2, 3, 4, 5 et alors, ça change quoi ?

donc une uniforme sur {0,..,5}, et ben ça change qu'elle n'a pas la même espérance par exemple.


Avant de dire que je fais une confusion tu pourrais remarquer que :
- tu es le seul à me dire que je fais des erreurs en proba / sur 4 ou 5 forums une vingtaine d'intervenant t'ont dis que tu faisait des erreurs basiques
- tu affirmes des choses que tu n'étaie d'aucun document précis, je multiplie les références à divers livres / cours / site qui corrobohre tous ce que j'avance
- de ta propre affirmation tu n'as eu qu'un cours de proba il y a 40 ans / j'ai un M2 en proba et une thèse dans un domaine qui les utilisent à plein régime
...

Alors un peu d'humilité et essaie de lire les définitions / théorèmes / commentaires qui t'ont été fait.
Ou arrête de poser des questions dont tu ne veux pas écouter les réponses.

P.S: je t'invite à trouver ne serait-ce qu'une personne qui penserait que "j'ai fait une confusion" dans la présentation ci-dessus

[Médiat]

Bonjour,

Avant de poursuivre sur ce chemin, on va attendre que Dlzlogic se renseigne un peu sur des notions basiques, que de mon temps on apprenait en 1ère, telle la notion de variable aléatoire ; dans cette attente : on ferme, une fois de plus.

Médiat, pour la modération