Spectre d'un signal et transformée de Fourier

[invite66d75f15]

Bonjour,
J'ai à faire un exercice me demandant (entre autres) de dessiner le spectre d'un signal de 60Hz représenté par la fonction
Cependant, comme mes cours sont en allemand, j'ai un peu de mal à comprendre tout ça. Donc j'ai cherché des cours en Français en ligne, mais j'ai peur de me mélanger entre la transformée de Fourier et le développement de Fourier, et de pas bien comprendre dans l'ensemble. D'autre part, tout ça me semble très calculatoire, or c'est dans le cadre d'un master d'informatique donc (sans vouloir offenser les informaticiens) je ne pense pas qu'il faille faire des choses si compliquées...
D'ailleurs dans l'exercice deux indications sont données:

1) Pour simplifier, on travaillera avec (j'ai pas la moindre idée de ce que représente ce delta; je me suis contentée de le remplacer par dans les formules suivantes)
2) Il existe différentes conventions pour la transformée de Fourier; pour ce devoir vous utiliserez les informations suivantes:
la fonction a pour transformée de Fourier
La fonction a pour transformée de Fourier
La fonction a pour transformée de Fourier

En cours, on a vu la formule suivante: avec ; ce qui correspond, d'après ce que j'ai lu en français, au développement (complexe) en série de Fourier.
Et on a vaguement parlé de celle-là:
avec et bn pareil avec sinus, mais là je suis pas sûre des formules parce que c'était juste dans un exemple et on n'a pas écrit les formules de base. Et puis apparemment c'est la même chose que la formule précédente, mais en "pas complexe".
Enfin, on a écrit un peu plus loin: , ce qui là correspond à la transformation de Fourier.

Or la question précise bien que l'on doit d'abord calculer la transformée de Fourier de la fonction, puis la multiplier avec l'impulsion, pour obtenir notre spectre.
Donc, voilà ce que j'ai fait:

En séparant l'intégrale de F en 2 comme je l'ai fait, on constate qu'il s'agit de la somme des transformées de Fourier de sin(2pi40t) et cos(2pi20t) qui sont données. Donc j'ai remplacé par les valeurs données, ce qui donne:


Voilà. Le problème c'est que ce truc n'a aucun sens pour moi. Ok, c'est la transformée de Fourier (si je n'ai pas fait d'erreur, je trouve curieux de n'avoir pas eu à me servir de la troisième indication), mais j'ai aucune idée de ce que ça représente ni comment on peut le multiplier par "l'impulsion".
Le peu que j'ai cru comprendre, c'est que pour faire une transformée de Fourier il faut d'abord développer la fonction en série de Fourier; mais ici ce n'est pas nécessaire car notre fonction est déjà sous la forme d'une série de Fourier. On peut donc passer directement à la transformée. Et la valeur absolue de la transformée nous donne l'amplitude du spectre du signal, tandis que la formule nous donne la phase du spectre (pas la moindre idée de ce qu'est une phase, ceci dit).

Donc, si quelqu'un pouvait m'éclairer sur l'utilisation d'une transformée de Fourier (et sa multiplication par une impulsion?!), ce serait vraiment chouette.
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[invite23cdddab]

1) Le delta, c'est la distribution de Dirac (en zéro). Et on te dis (enfin, ça n'est pas ce que tu as retranscrit ici, mais je devine) que la transformée de Fourier du Dirac, c'est 1 (la fonction constante égale à 1)

2) Donc, comme tu as voulu le faire, on remplace par ce qui est donné :



Où est en fait la notation pour la distribution de Dirac centrée en 40


Au passage, la formulation avec une intégrale de la transformée de Fourier n'est valable que pour les fonctions intégrables sur R tout entier : ce n'est pas le cas de celle de ton exercice

[invite66d75f15]

Merci pour ces éclaircissement, mais je crains que cela ne m'apporte aussi d'autres question ^^

1) pourquoi tu écrit ? Dans "l'aide" c'est écrit et je pensais que f correspondait à la fonction dont on calcule la transformée, mais même si ce n'est pas le cas je ne vois pas pourquoi ça devient une variable et pas une fonction.

2) En fait l'aide concernant delta dit textuellement "Zur Vereinfachung sei in der Zeichnung die Höhe von δ= 1" . J'ai un peu de mal à traduire mais je dirais que ça donne "Pour simplifier le schéma on prendra pour hauteur delta=1", ce qui fait pas non plus trop de sens pour moi;

3)La formule avec l'intégrale pour la transformée de Fourier est la seule qu'on ait vue en cours; si je ne peux pas l'utiliser, comment je suis censée faire?

4) Je ne sais toujours pas quoi faire avec cette transformée de Fourier et mon "impulsion" de 60Hz

[invite66d75f15]

Bon, je pense que j'ai compris l'histoire du oméga au lieu du f, mais pas tout à fait la fonction de Dirac.

Cependant je reste bloquée: toutes les lectures que je trouve sur le sujet utilisent la décomposition en série de Fourier pour construire le spectre du signal, pas la transformée de Fourier.
D'autre part je ne vois toujours pas où utiliser la troisième aide donnée.

Enfin, mon signal étant de 60Hz, je dois appliquer la transformée F à w=60Hz, non? Dans ce cas j'aurais des "pics", dont il faut que je calcule l'amplitude, aux points 20,40,80 et 100? Comment je gère les imaginaires? Et pour l'amplitude, j'ai fait ça:





Et donc pour omega=60Hz:


mais je ne sais pas quoi faire avec ce delta. Je ne le comprends pas.
J'ai lu tout l'article wikipédia (l'anglais aussi) sur la fonction de Dirac, mais rien à faire, ça ne fait pas de sens pour moi
Please help!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite66d75f15]

D'après les différents articles que j'ai lu, si et l'infini sinon. Mais ça voudrait dire que mon amplitude pour un signal de 60Hz est nulle, puisque je n'ai jamais dedans donc toutes les valeurs en delta son nulles....
Ou encore, j'ai des amplitudes non nulles pour omega valant -40, -20, 20 et 40, et nulles ailleurs; mais dans ce cas à quoi me sert le 60Hz?
Raaaaahhhhh!!! sauvez-moi par pitié

[Resartus]

Bonjour,
La phrase (ou peut-être votre traduction) est très bizarre, car en aucun cas un signal contenant du 20 Hz ne peut être appelé "un signal de 60Hz". Ne faut-il pas comprendre plutôt "la composante à 60Hz du signal"?

Et il ne peut en effet pas y avoir de fréquence 60 Hz, si on se contente de sommer deux signaux sinusoidaux, l'un à 20 Hz, l'autre à 40Hz
Ne serait-ce pas une faute de frappe de l'énoncé? On vous demande le spectre du PRODUIT des deux cosinus
(et là, une bête transformation du produit de cosinus en somme fait bien apparaitre des signaux à +-20 et à +-60, et par contre, le +-40 aura disparu)

Ou alors, autre possibilité : on vous demande de vérifier dans cette première question qu'il n'y a pas de 60 HZ dans le signal, mais, dans les questions suivantes, on appliquera un filtrage non linéaire qui fera apparaître des termes au carré, au cube, etc de l'amplitude, ce qui fera apparaître plusieurs termes en n*20, dont du 60 Hz...

[invite66d75f15]

Voici la question originiale:
Das Signal wird mit 60 Hz abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum des abgetasteten Signals f(t),t in Sekunden. Berechnen Sie hierfür zunächst die Fouriertransformation, und tasten Sie anschließend durch Multiplikation mit dem Impulszug ab.

Et ma traduction:
"Le signal sera balayé (?) avec 60HZ. Dessinez le spectre complexe du signal f(t), t en secondes. Calculez d'abord la Transformation de Fourier, puis multipliez la par l'impulsion."
Je ne suis pas sûre de comment traduire "abgetastet" dans ce cas précis.

Il est très possible que ma traduction soit fausse. C'est plus dur de traduire quand on comprend déjà mal les notions ^^
Les questions suivantes sont:
Welches Phänomen tritt auf, wie kommt es dazu und wie kann verhindert werden, dass es auftritt?
-> Quel phénomène apparaît, comment vient-il (en plus? ici?) et comment pourrait-on empêcher qu'il apparaisse?

Zeichnen Sie das Betragsspektrum des mit 100 Hz abgetasteten Signals. Was beobachten Sie in Bezug auf das beschriebene Phänomen?
-> Calculez la valeur absolue du spectre (donc l'amplitude) balayé (?) avec un signal de 100Hz. Qu'observez-vous par rapport au phénomène décrit?

Das Signal wird nun mit 80 Hz, dem doppelten der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz, abgetastet. Zeichnen Sie das komplexe Spektrum
-> Le signal sera maintenant balayé à 80Hz, la fréquence la plus élevée se produisant 2 fois dans le signal. Dessinez le spectre complexe.
(bon, j'avoue, je comprends même pas ma traduction).


Donc, apparemment, avec la première question je devrais voir apparaître un phénomène particulier; qui peut sans doute s'éviter quand on utilise d'autre fréquences. Les fréquences 100 et 80 utilisées ensuite me semblent plus sympa....
Cependant, je trouve bizarre qu'on me demande de dessiner le spectre du signal "balayé" à une fréquence de 60Hz s'il n'y a précisément rien à dessiner à cette fréquence.

D'autre part, en réécrivant la traduction, je m'aperçoit qu'il précise "le spectre complexe du signal". ça veut dire que je "jette" la parti réelle à la poubelle, je ne m'occupe que de la partie imaginaire?

Merci pour votre aide! Mais, au fait, qu'est-ce que c'est un filtrage (non-linéaire, qui plus est)? Et comment est-ce que ça pourrait faire apparaître d'autres termes?

[Resartus]

Bonjour,
En fait ,cela veut dire "echantillonné".
Je suppose que c'est dans un cours sur l'échantillonnage, avec le théorème de Nyquist, et le but est de vous faire toucher du doigt le phénomène de repliement
(c'est à dire que l'échantillonnage permet de reproduire sans perte toutes les fréquences inférieures à la moitié de la fréquence d'échantillonage, mais qu'il superpose les fréquences x et E-x.
Ici, en échantillonnant à 60 Hz, vous allez mélanger les deux signaux à 20 et 40
A 100, pas de problème
A 80, on est à la limite
Le mieux, plutôt que de vous acharner sur un cours en Allemand, serait de commencer par étudier cela en Français
Wikipedia par exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...chantillonnage

[invite66d75f15]

Bien, alors j'ai lu la page wikipédia et d'autres documents sur l’échantillonnage, puis j'ai relu ce que j'avais déjà lu sur la transformée de Fourier et le traitement du signal, et enfin j'ai réécouté tout mon cours (en Allemand, mais c'est dingue ce que je comprends mieux deux semaines plus tard).
Tout ça me semble beaucoup plus clair maintenant (merci beaucoup!) mais je me pose (hélàs) encore des questions.

D'abord, ma fonction est clairement périodique; dans ce cas, pourquoi n'utilise-t-on pas les séries de Fourier, au lieu de la transformée de Fourier?

Après, je comprend bien ce que l'on doit observer: à 60Hz, comme 40>60/2, on va avoir le problème du repliement de spectre. On échantillonne à une fréquence trop basse et donc un coup on prend le signal à 20, un coup le signal à 40, et au final ça donne une sinusoïde bizarre qui oscille entre les deux.
Un truc que je suis pas sûre d'avoir compris, ce sont les Herz ^^ comme la fréquence est de 60Hz, ça veut dire que l'échantillonnage se fait en prenant une valeur toutes les 1/60 secondes, c'est bien ça?

à 100Hz, ça passe bien et on peut donc bien évaluer notre signal.
à 80 c'est à la limite mais ça passe encore. (40=80/2)

En revanche, je ne comprends toujours pas très bien comment on observe tout ça et trace le graphe par le calcul.
1) Je comprend bien que la fonction de Dirac indique les moments des impulsions, mais en pratique comment je fais pour calculer l'amplitude ou la phase avec cette fonction qui traîne dans mon calcul?
2) L'énoncé dit qu'une fois qu'on a la transformée de Fourier, il faut la multiplier avec l'impulsion. Il me paraît clair (à présent) qu'il faut faire ça avec le produit de convolution. Mais en pratique, je ne suis pas sûre du calcul à faire. Voici ce que j'ai fait:

Ce qui m'avance à peu près à rien.

Donc, pour résumer, la théorie me semble enfin claire, mais pour la pratique, c'est pas encore ça.

[invite66d75f15]

Rerebonjour,
Ceci est, je pense, mon dernier essaie avant abandon jusqu'à la correction, que j'espère bien comprendre.

Alors voilà, dans mon cours il est écrit que l'impulsion est plutôt cette fonction: , ce qui me semble tout à fait logique. Ensuite à un moment il est donné un exemple où on a une fonction f, cette fonction s ci-dessus, on les multiplies et on calcule la transformée de Fourier.

Sauf que dans mon cas, il est bien écrit de faire d'abord la transformée de Fourier de f puis de la multiplier avec l'impulsion. D'un autre côté, en faisant ça, on utilise pas la transformée de Fourier de la fonction s, est pourtant donnée dans l'énoncé.
Donc je me suis dit qu'il fallait peut-être multiplier les deux transformées de Fourier, F(f) et F(s):


Donc, en partant du principe que cette fonction (que j'ai appelée F(omega), ce qui fait un peu beaucoup de F à mon goût) est cette fois bien celle du spectre que je dois tracer, je me suis demandée ce qu'elle pouvait bien donner; et donc d'abord ce que fait la somme (en théorie, la somme "place" les impulsions). Donc, pour moi, T=1/60Hz=0.016s car c'est une période (en secondes donc, pas en Hz). Donc de cette somme ne reste que les 'éléments' pour lesquels omega=60*k.

Maintenant, pour la première partie de la formule; si omega n'est pas +-20 ou +-40, c'est nul.
Si omega vaut 40, alors
Or l'expression dans la fonction de Dirac est nulle ssi k=40/60=2/3=0.66667
De même, si omega vaut -40 alors F(omega)= 30i avec un seul terme non nul dans la somme: celui où k=-2/3
Si omega=20, cette fois on a , le seul terme non nul de la somme est donc quand k=20/60=1/3
Et enfin, si omega=-20 on a encore F(omega)=30, avec un terme non nul pour k=-1/3.

Mon problème est...graphiquement, ça fait quoi??
En plus, si j'ai bien saisi, je devrais avoir un graphique en fonction du temps, avec juste des impulsions plus ou moins hautes. Là, sauf erreur de ma part, je pense pas que ma variable représente le temps (en fait je sais pas bien ce qu'elle représente), et si mes hauteurs d'impulsions sont 30i et 30, bah de un ça va pas parce que je suis censée mélanger les signaux à 20 et ceux à 40, donc avoir des impulsions plus ou moins hautes, et de deux y'a des complexes

J'ai laissé tombé mon autre devoir pour travailler là-dessus, et j'ai l'impression de pas avancer du tout, c'est déprimant si une âme charitable pouvait me sauver...