Bonjour,

Soit yo réel et le problème de Cauchy, posé dans R x R.

y' = f(y)
y(0) = yo

où f est de classe C1 avec un nombre finis de points d'annulation x1 < ... < xN.

1. Montrer que si xi <= yo <= xi+1 alors la solution du problème de Cauchy est globale. Montrer que les limites existent et les calculer.
2. On suppose que f(x) > 0 pour x > xN. Soit yo > xN.
a) Montrer que la solution du système est définie sur ]-infini, T+[.
b) Montrer que T+ < infini si et seulement si 1/f est intégrable en l'infini.
3. Que dire si f(x) < 0 pour x > xN ? Que dire pour yo < x1 ?

Pour la 1) : Pour yo=xi, la solution est constante égale à xi (pareil pour xi+1).
Deux solutions ne peuvent se couper. Si xi <= yo <= xi+1, alors la solution maximale u est telle que xi < u < xi+1 sur un intervalle de définition ]T-,T+[.
Elle est minorée par xi et majorée par xi+1, elle est donc bornée. Par le théorème des bouts, comme f est de classe C1, la solution u est globale (définie sur R tout entier).

Pour les limites :
xi et xi+1 sont des points d'annulation consécutifs de f. Entre ces deux points, f garde donc un signe constant, ce qui signifie que u est strictement monotone entre ces deux points.
Cas 1 : u est croissante, minorée par xi et majorée par xi+1. Dans ce cas, il est immédiat que et .

Cas 2 : u est décroissante. Dans ce cas, et .

Pour la question 2), je commence à bloquer.
Le petit a), si on note f(x) > 0, déjà on sait que u est croissante.
yo > xN, donc u(t) > xN également.
Ainsi, u est croissante et minorée par xN, définie sur ]T-,T+[. On cherche à étudier T-.
Supposons T- > -infini. Comme u est croissante et minorée, elle admettrait une limite >= xN vers T-. Ainsi, u est prolongeable, ce qui est contradictoire. On conclut que T- = -infini.

Par contre, je ne comprends pas trop le petit b).
Je sais qu'une équation linéaire autonome se résout de la façon suivante :
y'=f(y)


Mais je n'arrive pas à voir en quoi son intégrabilité en l'infini implique que T+ < infini... Et pouvez-vous me dire si le reste est juste ? Quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance !