Formule à la Ramanujan

[juliendusud]

Bonjour,

Voici une petite formule que l'on peut facilement vérifier avec une calculatrice, qui saura la démontrer rigoureusement?



où 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... est la suite définie par u(n)=2n²+1
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[Seirios]

Bonjour,

où 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... est la suite définie par u(n)=2n²+1

Quand on compare, cela ne donne pas vraiment la même chose...

une petite formule que l'on peut facilement vérifier avec une calculatrice

Vérifier une égalité à la calculatrice, ça existe ?

[invitee500f48c]

Bonjour,

Quand on compare, cela ne donne pas vraiment la même chose...

Pardon, c'est n²+1, on démarre à n=2.

[Médiat]

Bonjour,

On peut commencer à n = 1 et u(n)=n²+1 sous la forme

[A voir en vidéo sur Futura]

[juliendusud]

C'est encore plus esthétique, bien joué.

[azizovsky]

Bonjour,

On commencer à n =0 et u(n)=n²+1 sous la forme

[azizovsky]

ce qui donne ???

[azizovsky]

rectification:

Bonjour,

On commence à n =0 et u(n)=n²+1 sous la forme

[juliendusud]

En généralisant encore à tous les entiers naturels on tombe sur une très jolie formule :



avec u_n = (n+1)² + 1

Qui saura la démontrer ?

[Médiat]

Jolie généralisation, et sans difficulté supplémentaire :

Si on appelle f(n) cette formule, il est évident que f(n) ==> f(n+1), pour avoir une démonstration par récurrence, il suffit de démontrer f(0) qui est exactement la formule du message #4

[invite51d17075]

par récurrence simple :
sachant que n²-Un= -2(n+1)

edit: pas vu le mess précédent de Médiat.

[azizovsky]

En généralisant encore à tous les entiers naturels on tombe sur une très jolie formule :



avec u_n = (n+1)² + 1

Qui saura la démontrer ?

pour trouver le cas à n=0, j'ai passer par cette formule.(on cherchant 'l'opération inverse ', ça sert à rien de modifier n²+1...., 0=4????)

la beauté vient après l'exactitude .

[invitedd63ac7a]

Je dirais plutôt que c'est une formule à la Euler qui ne craignait pas d'écrire :

en tirant par les cheveux le développement en série de .

On considère la suite définie par récurrence

Puis on écrit à l'infini en fonction des autres termes ... en utilisant l'égalité "inverse" fausse:



parce que tous les termes de la suite sont négatifs sauf !
Donc ceci n'a pas de sens dans IR.
Peut-être que dans les complexes on pourrait faire quelque chose... j'ai pas trop cherché.


PS: Je n'ai pas vu les messages précédents, serais-je faux ???

[invitedd63ac7a]

Je me suis trompé, désolé !

[invitedd63ac7a]

Je ne comprends plus rien, Mediat et Ansset qu'appelez-vous f(n) et Un

[Médiat]

Je ne comprends plus rien, Mediat et Ansset qu'appelez-vous f(n) et Un

Bonjour,

Ce que j'ai appelé f(n), c'est la formule "n = ..." du message #9 (*), je l'ai baptisé pour expliciter la récurrence dont je voulais parler et dont la partie "hérédité" est triviale.

(*) Il faudrait l'écrire plus formellement, avec une limite, mais l'abus d'écriture est bénin.

[invitedd63ac7a]

Mais le membre de droite contient une infinité de radicaux, cela a-t-il un sens ?
Comment l'écrire plus formellement avec une limite ?

[Médiat]

Il faut définir le terme où on ne calcule que termes

[invitedd63ac7a]

On considère la suite a définie par récurrence :


On démontre facilement par récurrence que, pour tout n>1 dans IN :


On considère maintenant la suite définie pour tout n>2 dans IN:

cette suite est toujours définie parce que
par construction de la suite a, la suite v est constante et égale à (démonstration par récurrence).

Est-cela auquel vous aviez pensé Médiat ?

[Médiat]

J'avoue que je n'avais pas fait les calculs mais, oui, c'est bien à quelque chose comme cela que je pensais