Une formule dûe à Ramanujan

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Bonjour à tous.

Alors, voilà j'ai lu un article en rapport avec l'analyse. En particulier sur les transformations de Fourier. Il est proposé une façon de calculer deux formules de Ramanujan qui sont les suvantes:



Pour celà on propose de calculer la transformation de Fourier de :


On notera la tranformation de Fourier définie par :



Je sais qu'il est d'usage de proposer ces idées avant de poser ces questions. Voilà donc ce que j'ai "rapidement fait", mais sans succès.

J'ai essayé le calcul de résidu, mais sans succès. J'ai introdui les bons contours, fait pleins de dessins, élevé au carré un grand rectangle pour appliquer les résidus, mais je tombe sur une somme du type , et ça je ne sais pas calculer...

Je me suis intéressé à la formule , où , et .
Le problème est que n'est pas du tout sur . Il suffit alors de régulariser un peu plus cette application . J'ai d'abbord imaginer qu'il suffisait de considérer , puis de faire tendre vers 0. Là encore rien de bien satisfaisant. Dans notre cas, on s'intéresse aux intégrales qui ressemblent à celles de Fresnel, c'est pourquoi j'ai aussi pensé à introuire, , l'application de Gauss renormalisée. Avec cette application d'intégrale untaire, on peut construire une suite régularisante . On trouve alors que . Toutes ces idées n'aboutissent pas au calcul de la transformation de Fourier.

Changeons alors de méthode. Encore une fois rappelons nous d'une manière de calculer l'intégrale de Fresnel , autre que les résidus.
Il suffisait d'intégrer par partie pour faire apparraître une application intégrable! On a .
J'ai donc repensé à cette idée dans l'intégrale dûe à la transformation de Fourier de , mais rien de bien beau encore une fois.

Les fonctions holomorphes sont d'une pureté telle que je me suis dit qu'elles devraient être productives dans ce calcul. Je me suis alors intéressé à . L'application $u$ est bien holomorphe, et il suffirait de savoir calculer cette intégrale sur un ensemble "suffisamment" gros pour passer, par prolongement analytique, à tout entier. Une fois encore c'est avec regret que je n'ai pas réussi.

Je n'ai pas fini ! La tranformation de Fourier n'est autre que . J'ai alors remplacer par sa transformation de Fourier dans le calcul de . J'y étais presque! En effet, en faisant apparaître un carré, on est capable de se ramener au calcul de . Autrement dit, on retouve la formule de produit de convolution que l'on ne pouvait appliquer car n'est pas ...

Bref, je dois sûrement oublier un petit paquet de mes idées. Toujours est-il que j'ai réfélchi à la question, et que la bienvenue indication ne sera pas contre-productive, au contraire.

Merci à vous tous pour votre aide.
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[invite0fa82544]

Avez-vous essayé de ``linéariser'' l'argument quadratique dans l'exponentielle en utilisant sa représentation intégrale :

[invite33c0645d]

Je n'avais en effet pas pensé à ce calcul. Je vais de ce pas en prendre note.