Factorisation de Cholsky

[invite13cd37f1]

Salut tout le monde,
On nous a donné la matrice suivante : A= Pour voir si cette dernière est symétrique définie positive;Et si oui, appliquer la factorisation de Mr.Cholesky.



1- J'ai calculé x'Ax=(x₁+2x₂+3x₃)^2>0 pour toute x!=0.
Donc la matrice et bien symétrique définie positive !

2-Appliquer l'algorithme de Cholesky qui est bien connue par tout le monde, et là la catastrophe !! je trouve que l₂₂ est nulle dans la matrice L de Cholesky du coup je ne peut calculer ni l₂₃ ni l₃₃. Où est la faille ?!

Merci d'avance...
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[invite13cd37f1]

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[Celestion]

En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif : une matrice définie positive est une matrice positive inversible.
(Wikipedia)

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Votre calcul x'Ax est correct. Cependant votre conclusion est fausse: la matrice n'est pas définie positive (on voit même facilement qu'elle a même deux valeurs propres nulles puisque tous les vecteurs lignes sont linéairement dépendants).

Par exemple, si je prend x = (1, -0.5, 0) != 0 (différent du vecteur nul), que vaut x'Ax ?

Par ailleurs, même si la symétrie est évidente ici, vous n'avez pas formellement montré que A était symétrique. Pour cela il faut vérifier que A' = A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite13cd37f1]

Donc finalement, que doit-on démontrer pour dire qu'une matrice est définie positive ?

[gg0]

Bonjour.

Tu peux voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Matric...finie_positive.

Tu as dit que x'Ax était strictement positif, c'était faux. Il y a des carrés non strictement positifs ... Si tu avais pu le montrer vraiment, la conclusion aurait été juste.

Cordialement.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Donc finalement, que doit-on démontrer pour dire qu'une matrice est définie positive ?

Comme l'a dit gg0, on procède comme vous l'avez fait. Il se trouve juste que la matrice considérée ici n'est pas définie positive (cfr. mon contre-exemple au post #4). Il est donc impossible de prouver qu'elle le soit. Elle n'admet donc pas de décomposition de Cholesky.

[invite13cd37f1]

merciiii