Fonctions à plusieurs sorties

[juliendusud]

Bonjour,

Existe t-il des objets mathématiques similaires aux fonctions mais qui autoriseraient non pas une sortie unique mais un nombre indéfini de sorties?
Par exemple, si on définissait les sorties de la fonction racine carrée telle que , la fonction renverrait deux sorties dans IR (excepté pour 0).
On pourrait noter de manière assez puissante des choses de ce genre :
ou bien encore .
Qu'en pensez vous?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Une façon simple de voir les chose est une fonction de

[juliendusud]

Ce que je voudrais maintenant faire, c'est généraliser l'expression d'un nombre réel x = Ax telle que je l'ai défini dans le fil intitulé théorie des nombres

mais au lieu d'avoir la fonction racine classique, je voudrais utiliser la fonction racine généralisée qui fournit deux sorties.
On voit que ma généralisation ne fonctionne que pour les sorties positives, or je voudrais une expression généralisée qui marche pour les deux sorties.

Une idée?

[juliendusud]

J'ajoute qu'il est interdit d'utiliser la fonction valeur absolue ou sgn(x), ce serait trop facile

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Les mathématiciens ont toujours réussi à ne se servir que de fonctions et d'ensembles pour traiter les problèmes. Des bêtes fonctions dont l'image est unique. Et s'ils l'ont fait, c'est parce que c'est plus simple. Pourquoi vouloir faire compliqué ?

Mais si ça t'amuse, fais-le pour toi.

Cordialement.

[invite0b618583]

@gg0 pas exactement tout les mathématiciens : tout un pan des mathématiques utilises des correspondances (que l'on peut éventuellement voir comme des fonctions dans P(E), mais il faudrait aussi parler de topologies "naturelles" sur P(E) ). C'est typiquement fort pratique pour, comme le suggère Julien, faire des applications "solution" d'une équation (ou d'un problème) paramétré par une valeur.

[gg0]

Quand j'étais jeune étudiant, on trouvait encore des auteurs qui utilisaient des "fonctions multivoques", qui ont pour l'essentiel été abandonnées, au profit d'autres présentations (fonctions de A dans P(b), feuilletages, ...) qui évitent les soucis de signification des notations.
Quant aux correspondances et relations, elles sont évidemment toujours très utilisées, avec des notations précises.

Cordialement.

[AncMath]

Le gros problème avec de telle fonctions multivaluées c'est qu'on ne peut pas les composer a priori. Alors que la composition est quand même l'opération de base sur les applications et on ne veut surtout pas la perdre.
Dans certains contextes, beaucoup plus sophistiqués, on arrive à composer des correspondances et a en faire quelque chose de non trivial.

[juliendusud]

J'avais oublié les fonctions multivaluées de Riemann, du coup ça contredit certaines affirmations de ce fil selon lesquelles les mathématiciens ne les auraient jamais utilisées.

[juliendusud]

Bonjour,

Existe t-il des objets mathématiques similaires aux fonctions mais qui autoriseraient non pas une sortie unique mais un nombre indéfini de sorties?
Par exemple, si on définissait les sorties de la fonction racine carrée telle que , la fonction renverrait deux sorties dans IR (excepté pour 0).
On pourrait noter de manière assez puissante des choses de ce genre :
ou bien encore .
Qu'en pensez vous?

D'ailleurs comment calcule t-on dans l'espace complexe la somme
?
N'y a t-il pas 4 résultats possibles ?

[AncMath]

J'avais oublié les fonctions multivaluées de Riemann, du coup ça contredit certaines affirmations de ce fil selon lesquelles les mathématiciens ne les auraient jamais utilisées.

Non, ca va dans le sens de ces interventions au contraire. Les "fonctions multivaluées" dans ce cadre là sont des revêtements et ce sont des braves fonctions. C'est juste que Riemann les regardait à l'envers !

[invite0b618583]

Quand j'étais jeune étudiant, on trouvait encore des auteurs qui utilisaient des "fonctions multivoques", qui ont pour l'essentiel été abandonnées, au profit d'autres présentations (fonctions de A dans P(b), feuilletages, ...) qui évitent les soucis de signification des notations.
Quant aux correspondances et relations, elles sont évidemment toujours très utilisées, avec des notations précises.

Je pensais au correspondance anglais qui est un synonyme de "multivalued function" ou "set-valued" functions. Pour ma part je les ai rencontrés :
- en analyse variationelle (Rockafellar-Wets, 1995)
- en optim (typiquement l'application sous-gradient)
- en théorie des jeux (entre autres parce que l'on peut donner un théorème de point fixe avec des set-valued function).

C'est souvent juste une histoire de notations, mais parfois ça permet aussi de parler rapidement de (semi)-continuité sans avoir à redéfinir les topologies.

[gg0]

Effectivement, Feanorel.

Mais derrière ces utilisations, il y a une forte connaissance de ce dont on parle. Et des opérations algébriques licites ou pas. On peut considérer que c'est un peu comme du calcul avec des expressions simplifiées pour aller vite : On ne peut le pratiquer que si on est capable de faire autrement, de façon parfaitement "rigoureuse" (avec des notations précises, sans flou).
Et comme Juliendusud en est encore à écrire des puissances 1/2 de complexes (sans avoir défini de quoi il parle), il me semblait raisonnable de ne pas le confirmer dans une attitude "j'écris sans savoir ce que ça signifie".
J'aurais agit différemment s'il avait présenté le problème autrement.

Cordialement.

[stefjm]

D'ailleurs comment calcule t-on dans l'espace complexe la somme
?
N'y a t-il pas 4 résultats possibles ?

Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine...ombre_complexe
et plus généralement : https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_d%27un_nombre